為了提高圖像加密的安全性，提出了一種多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換。此類多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換是C．C．Shih提出的四項(xiàng)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換的一種擴(kuò)展，除了分?jǐn)?shù)階數(shù)，還有四個(gè)在四項(xiàng)加權(quán)系數(shù)之中的自由參數(shù)，稱其為向量參數(shù)。同時(shí)給出此多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換的離散形式，并把這種算法應(yīng)用到光學(xué)圖像加密中。此算法在應(yīng)用一次二維分?jǐn)?shù)傅里葉變換可以有十個(gè)密鍵：一類為階數(shù)參數(shù)；另一類為向量參數(shù)，因此這種加密算法在增加了安全性的同時(shí)，加密過(guò)程的復(fù)雜度降低。

一、連續(xù)多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換

提出了一種分?jǐn)?shù)化經(jīng)典傅里葉變換的方法，是一種新的分?jǐn)?shù)傅里葉變換定義形式，稱之為加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換( WFRFT)。定義α階多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換是WFRFT的擴(kuò)展，記為Fα：

這里f4L+l (X)=(F4L+/f)(z)=fl(x)，pl（α）是fl(l=0，1，2，3)的系數(shù)。這里的系數(shù)pl(α)與WFRFT的系數(shù)是不同的。

這里N= (no，n1，n2，n3)∈Z><Z這里N= (no，721，n2，773)∈Z×Z×Z×2=Z4是一個(gè)有四個(gè)整數(shù)元的向量，并且對(duì)于0≤m，l≤3，α，β∈R，pl(α)具有下列特性：

①連續(xù)性：對(duì)任意的實(shí)數(shù)α，pl（α）是連續(xù)的；
②邊界性：；
③周期性：；

④可加性：，

把(2)式代人(1)式，得到多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換的一般形式：

二、光學(xué)圖像文件加密

把多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換應(yīng)用于光學(xué)圖像加密。具體過(guò)程如下：首先讀人原始圖像；然后進(jìn)行二維多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換；完成圖像加密。根據(jù)多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換的可加性，解密過(guò)程只需使用多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換的逆變換，完成對(duì)加密圖像的解密圖像恢復(fù)。由于多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換除了階數(shù)參數(shù)之外，還有一組向量參數(shù)可以作為密鍵，這樣應(yīng)用一次二維離散多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換可以有10個(gè)密鍵，從而使圖像加密的安全性增加且復(fù)雜度降低。

這里fL(l=O，1，2，3)是函數(shù)f的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，圖像加密過(guò)程可以用一個(gè)示意性的迭代裝置，即光電混合系統(tǒng)來(lái)說(shuō)明。位于透鏡的左邊平面的是空間光調(diào)制器(SLM)，SLM可以顯示振幅和相位用來(lái)顯示函數(shù)fl-1的第l次疊加。透鏡右端的接收面可由一個(gè)電荷耦合裝置(CCD)記錄全息圖，導(dǎo)入計(jì)算機(jī)。通過(guò)計(jì)算機(jī)的后加工，fl-1的振幅和相位在空間光調(diào)制器上得到恢復(fù)和顯示，經(jīng)過(guò)疊加之后，所有的基函數(shù)都得到了，如圖1所示。

由于多參數(shù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換有向量參數(shù)可以作為密鍵，這樣經(jīng)過(guò)加密，密鍵為（α，β，Nl，Nr），有10個(gè)密鍵，其中α，β∈R，Nl=（nlo，nl1，nl2，nl3），Nr=（nr0，nr1，nr2，nr3）∈Z×Z×Z×Z=Z4。解密鍵為（α，β，Nl，Nr），所以想要得到原始圖像需要得到10個(gè)參數(shù)，大大提高了加密的性能。

三、仿真

1、加密

用數(shù)字仿真來(lái)證實(shí)應(yīng)用多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換的圖像加密的有效性和可靠性。圖2(a)為原始圖像，圖2(b)為加密圖像，密鍵為（-3.1623，-3.3166，[9，4，16，20]，[8，3，17，13]）。從加密圖像可以看出，經(jīng)過(guò)一次多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換之后，由8個(gè)整數(shù)密鍵，2個(gè)實(shí)數(shù)密鍵加密的圖像，在視覺(jué)上沒(méi)有原圖像的任何信息。這10個(gè)密鍵中的8個(gè)整數(shù)是任意取得的，2個(gè)實(shí)數(shù)也是隨機(jī)產(chǎn)生的，所以具有很好的安全性。

2、解密

圖3(a)為利用正確的解密鍵(3.1623,3.3166,[9，4，16，20]，[8，3，17，13])解密圖像得到的結(jié)果，可以得到清晰的原圖像，說(shuō)明了這種方法的可靠性。圖3(b)為利用錯(cuò)誤的解密鍵(3，3.3166，L 9，4，16，20]，[8，3，17，13])解密圖像得到的結(jié)果，可以看到即使得到9個(gè)正確的解密鍵，而只有一個(gè)階數(shù)參數(shù)的解密鍵偏差很小的情況下，仍然得不到原圖像的任何信息，說(shuō)明了這種方法的安全性很好。圖3(c)為利用錯(cuò)誤的解密鍵(3. 1623，3.3166，[9，4，16，20]，[48，3，17，43])解密圖像得到的結(jié)果，由圖中可見(jiàn)，向量參數(shù)對(duì)于解密過(guò)程也起了相當(dāng)大的作用，當(dāng)向量參數(shù)中的兩個(gè)元素是未知時(shí)，仍然不能得到原圖像的任何信息，進(jìn)一步說(shuō)時(shí)了這種加密方法的安全性很高。

3、誤差分析

圖4(a)表示當(dāng)階數(shù)參數(shù)α變化時(shí)，加密圖像和原始圖像的均方誤差，可以看到縱軸的均方誤差達(dá)到了104量級(jí)，進(jìn)一步說(shuō)明這種加密方法的可靠性。圖4(b)為向量參數(shù)變化時(shí)，解密的均方誤差。向量參數(shù)共有八個(gè)，以mLr3和nl4為例，通過(guò)三維的圖像來(lái)說(shuō)明向量參數(shù)對(duì)于圖像加密的影響。由圖中可以看出，向量參數(shù)對(duì)于圖像恢復(fù)的影響很大，這一點(diǎn)通過(guò)縱坐標(biāo)的均方誤差可以看出。作為加密圖像的另一類參數(shù)密鍵，向量參數(shù)提高了圖像加密的安全性和可靠性，使得應(yīng)用多參數(shù)加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換進(jìn)行圖像加密具有更加明顯的優(yōu)越性。

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