在以互聯(lián)網(wǎng)為代表的數(shù)字信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，越來越多的場合需要用數(shù)字加密保護(hù)處理。為此我們利用離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換(DFRFT)提出了一種數(shù)字圖像文件加密變換算法。分?jǐn)?shù)傅里葉變換如今在光學(xué)信息處理領(lǐng)域已有比較廣泛的應(yīng)用。數(shù)本文將這種加密算法同傳統(tǒng)混沌加密方法相結(jié)合，能夠獲得較高的保密效果。

一、數(shù)字圖像的分?jǐn)?shù)傅里葉變換

1、分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義和性質(zhì)

以一維為例討論，設(shè)輸入信號為f(x)，則其p階分?jǐn)?shù)傅里葉變換定義為：

其中，常數(shù)為：

p(o<|p|<2)為分?jǐn)?shù)階，φ=p.（π/2）。

特別地，當(dāng)p=1時，上述分?jǐn)?shù)傅里葉變換即為普通傅里葉變換。

由此定義可得出分?jǐn)?shù)傅里葉變換的兩條重要性質(zhì)：

（1）可加性：fp1(fp2)=fp1+p2；

（2）周期性：當(dāng)p1+ p2=4n時，fp1+p2=f，其中n為整數(shù)。

2、分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)值計算

對分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義進(jìn)行離散化處理，分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)值計算可通過7個步驟得到：

（1）初始化；

（2）由采樣定理對輸入信號和啁啾信號進(jìn)行離散化處理得到f(n)，（-N／2<n<N／2），exp(iπn2cotφ)，其中N為總采樣數(shù)；

（3）信號f(n)乘以啁啾信號exp(iπn2cotφ)；

（4）進(jìn)行FFT運算；

（5）進(jìn)行尺度變換，系數(shù)為cscφ。

（6）再與同一啁啾信號相乘；

（7）與常數(shù)位相因子相乘。

第（7）步可以略去，不會對理論分析造成影響，因為常數(shù)位相因子不改變分?jǐn)?shù)傅里葉變換的分布，只是使位相增加了一個共同的移動。算法的結(jié)果很容易擴(kuò)展到二維可分離變量情況。

3、數(shù)字圖像的離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換

數(shù)字圖像的離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換是二維的，變換過程可轉(zhuǎn)換為兩次一維離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換，轉(zhuǎn)換步驟如下：

（1）對數(shù)字圖像的行向量進(jìn)行一維離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換，變換階數(shù)為px，得變換結(jié)果F1；

（2）對F1的列向量進(jìn)行一維離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換，變換階數(shù)為py，得到變換結(jié)果F2；

（3）對F2進(jìn)行轉(zhuǎn)置，得到的結(jié)果就是二維離散分?jǐn)?shù)傅里葉的變換結(jié)果。

二、混沌系統(tǒng)和圖像空間域置亂

1、混沌系統(tǒng)

混沌現(xiàn)象是在非線性動力系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性類似隨機(jī)的過程，這種過程既非周期又不收斂，并且對初始值有極其敏感的依賴性。從時域上看，混沌映射得到的序列類似于隨機(jī)序列，相關(guān)性較弱，具有很好的類白噪聲特性，因此可以用來產(chǎn)生偽隨機(jī)信號或偽隨機(jī)碼。原理上只要增加迭代次數(shù)，偽隨機(jī)碼的周期可以很長，產(chǎn)生長碼十分簡單。通過混沌系統(tǒng)對初始值和結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感依賴性，可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類隨機(jī)而又確定可再生的信號。由于上述特點，混沌已廣泛應(yīng)用于保密通信中，同時也可以作為加密序列?；煦缂用芗夹g(shù)已成為一種新興的加密技術(shù)。

一類非常簡單卻被廣泛研究的動力系統(tǒng)是logistic映射，其定義如下：

其中，0<μ<4稱為分枝參數(shù)，xk∈(0，1)定義同上?；煦鐒恿ο到y(tǒng)的研究工作指出，當(dāng)3.569 945 6…<μ≤4時，logistic映射工作于混沌態(tài)。也就是說，由初始條件xo在logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{Xk；k=0，1，2，3...）是非周期的、不收斂的，并對初始值非常敏感。

另一類簡單的映射是Chebyshev映射，以階數(shù)為參數(shù)。

k階Chebyshev映射定義如下：

其中，xk的定義區(qū)間是(-1，1)。事實是通過簡單的變量代換，logistic映射同樣可以在區(qū)間(-1，1)上定義。其形式如下：

其中，λ∈[0，2]。在λ=2的滿射條件下，logistic映射與Chebyshev映射是拓?fù)涔曹椀?，其所生成的序列的概率分布函?shù)PDF (probability density function)也是相同的：

對于式（2）形式的logistic映射，如果μ=4，PDF可改寫為：

通過ρ（x），可以很容易地計算得到logistic映射所產(chǎn)生的混沌序列的一些很有意義的統(tǒng)計特性。例如，x的時間平均即混沌序列軌跡點的均值為：

關(guān)于相關(guān)函數(shù)，獨立選取兩個初始值xo和yo，則序列的互相關(guān)函數(shù)為：

注意聯(lián)合pdf ρ(x，y)=ρ(x)*ρ(y)。

而序列的自相關(guān)函數(shù)(auto-correlation functions，ACF)則等于delta函數(shù)θ(1)。

Logistic序列的以上特性表明，混沌動力系統(tǒng)具有確定性，其遍歷統(tǒng)計特性等同于白噪聲，其具有形式簡單，初始條件的敏感性和具備白噪聲的統(tǒng)計特性等諸多特性。

2、混沌二維置換網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計

密碼學(xué)中使用置換來進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，主要有兩種作用：

（1）對數(shù)據(jù)內(nèi)容作不可預(yù)測的替換；

（2）改變數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)序列中的位置，即隨機(jī)換位。

對于第（2）種置換網(wǎng)絡(luò)也稱為置亂網(wǎng)絡(luò)。本文采用一種二維混沌置亂方法來應(yīng)用于圖像的加密。置換網(wǎng)絡(luò)的目的是利用若干步驟的變換，打亂原來元素的位置，使原來有規(guī)則的元素分布在多次變換后顯現(xiàn)無規(guī)則、接近隨機(jī)的分布，從而起到信息保密的作用。這里將混沌序列引入密碼置換網(wǎng)絡(luò)，利用混沌映射產(chǎn)生序列的非線性以及其軌道點的遍歷性，來產(chǎn)生置換網(wǎng)絡(luò)的雙射變換所需的地址。

加密算法原理框圖如圖1所示。

加密算法原理：設(shè)二維數(shù)字圖像的矩陣表示為Ai =[ai，j]MxN，其中ai，j代表圖像第i行第j列像素的灰度值（或RGB分量值），對圖像采用置換網(wǎng)絡(luò)的置亂在本質(zhì)上是原始圖像與加密圖像之間對應(yīng)點處灰度值的移動。圖1中，二維MxN置換陣列的存儲單元存放MxN個原圖像序列，混沌序列產(chǎn)生器a和b分別提供二維置換陣列的行地址和列地址，用來選擇要輸出的圖像序列。

圖1中Ai是置換前的明文序列，Ao是置換后的序列。這里Ai和Ao的關(guān)系由混沌序列產(chǎn)生器a和b來確定的。設(shè)用戶密鑰為x01，x02。利用密鑰值x01，x02，本文采用式（4）生成實數(shù)值混沌序x1k，x2k，在該加密算法中不使用該序列的初始段部分，設(shè)起始位置分n1，n2。然后由x1k和x2k分別生成二維置換陣列的行地址和列地址，這里采用兩個Chebyshev映射產(chǎn)生的序列加1成為區(qū)間[0，2]間的數(shù)，然后乘以(M+1)/2和(N+1)/2取整來作為置換陣列的行地址和列地址。密鑰為(x01，x02，n1，n2)?；煦缧蛄挟a(chǎn)生器a和b產(chǎn)生序列直接決定了該置換網(wǎng)絡(luò)的保密性能。

三、基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的混沌圖像文件加密方法

結(jié)合使用圖像置亂和分?jǐn)?shù)傅里葉變換加密即是圖像雙重加密。將圖像置亂記為Jc（），圖像置亂的反變換記為J-c（）。分?jǐn)?shù)傅里葉變換記為F（px，py），px，py分別為x，y方向的分?jǐn)?shù)傅里葉變換階數(shù)，輸入圖像用f(x，y)表示。

對圖像進(jìn)行區(qū)域置亂變換，得到：

對變換過后的圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換，可以得到：

這樣，也就得到最后加密結(jié)果為：

圖像解密的過程也就是加密的反過程。只要對式(12)進(jìn)行反變換就可以得到原來圖像信息，可由下式表示：

式（13）即為解密輸出圖。每一次變換都包含x和y兩個方向，即有px, py兩個變換密鑰。另外，雙重加密也可以先進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換后再進(jìn)行區(qū)域置亂加密，即最后的加密結(jié)果為：

相應(yīng)的解密過程為：

四、計算機(jī)模擬分析

1、數(shù)字圖像文件加密變換的計算機(jī)模擬實現(xiàn)

圖2為原始lena圖像，256灰度級，256x256像素。對原始圖像的x，y方向分別實施px=0.2，py= 0.7的不對稱分?jǐn)?shù)傅里葉變換，得到的加密圖像文件如圖3所示。

圖4為實施不同級次逆變換對加密圖像進(jìn)行解密所得的結(jié)果。解密參數(shù)px、py如圖4(a)～圖4(d)所示。

以上實驗結(jié)果可以看出，當(dāng)x，y方向的逆變換級次分別與原變換級次都接近時，能看到原圖像的部分信息。因此，本文提出同時采用圖像空間域置亂和頻率域分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，實現(xiàn)圖像雙重加密。只有同時清楚空間域置亂密碼和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換密碼才可能對加密圖像文件進(jìn)行有效解密。

2、基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的混沌圖像文件加密方法的計算機(jī)模擬

圖5是對圖1原始lena圖像先用混沌序列進(jìn)行置亂，然后再進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換得到的加密圖像。混沌密鑰為(x01，x02，n1，n2)=(0.4，0.6，5，10)。分?jǐn)?shù)傅里葉變換階數(shù)密鑰為(px,py)=(0.2，0.7)。

對加密后的圖像文件進(jìn)行解密，圖6是密鑰不正確時的解密圖像，其中圖6(a)是分?jǐn)?shù)傅里葉變換密鑰不正確，分?jǐn)?shù)階為(px=-0.12，py=-0.62)，置亂反變換密鑰正確得到的解密圖像；圖6(b)是分?jǐn)?shù)傅里葉反變換密鑰正確，置亂反變換密碼不正確得到的解密圖像，(x01，x02，n1，n2)=(0.4001，0.600 1，5，10)。

圖7是密鑰都正確時的解密圖像。可見只有同時知道置亂密鑰和分?jǐn)?shù)傅里葉變換密鑰時才能得到原始圖像信息。

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