隨著整數(shù)階混沌理論與應(yīng)用的發(fā)展，對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究開(kāi)始逐漸引起廣大學(xué)者的關(guān)注，并且在整數(shù)階混沌理論以及分?jǐn)?shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上提出了眾多的分?jǐn)?shù)維混沌系統(tǒng)模型，為進(jìn)一步的應(yīng)用研究奠定了基礎(chǔ)。

本文以一種分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)，利用此混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列分別進(jìn)行了圖像像素位置置亂和像素值替代的加密的工作，并進(jìn)行了多方面的算法安全性分析，比如密鑰空間分析、密鑰敏感性分析、統(tǒng)計(jì)分析和抗干擾與抗攻擊分析，研究結(jié)果表明本文算法具有良好的加密效果。此外本文采用的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)屬于高維混沌系統(tǒng)，并且相比于一般的整數(shù)階混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜，隨機(jī)性更好，可以為圖像加密提供更大的密鑰空間。

一、分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)

分?jǐn)?shù)階微積分是研究任意階微分和積分的理論，是普通的整數(shù)階微分和積分向非整數(shù)階的推廣。在分?jǐn)?shù)階微積分理論中有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分有幾種不同的定義，其中Caputo定義方式在實(shí)際應(yīng)用中的使用的比較廣泛，這是因?yàn)镃aputo定義方式適用于時(shí)域分析，并且其定義的初始條件與整數(shù)階微分類(lèi)似，所以在物理意義以及實(shí)際分析中有著更廣泛地應(yīng)用。? Caputo微分定義如下：

其中n為不小于α的第一個(gè)整數(shù)，Jθ為θ階Riemann-Liouville操作數(shù)，定義如下：

其中τ(o)為τ函數(shù)，0<θ≤1。

有專(zhuān)家提出了一種統(tǒng)一的混沌系統(tǒng)，由于這種混沌模型集合了三種典型的混沌系統(tǒng)，因此也稱(chēng)為L(zhǎng)orenz-chen-/Lu(LCL)系統(tǒng)。

其中δ∈[O，1]，當(dāng)δ∈[0，0.8)時(shí)，系統(tǒng)(3)表現(xiàn)為L(zhǎng)orenz混沌系統(tǒng)；當(dāng)δ=0.8時(shí)，系統(tǒng)(3)表現(xiàn)為L(zhǎng)u混沌系統(tǒng)；當(dāng)δ∈(0.8，1]，系統(tǒng)(3)表現(xiàn)為Chen混沌系統(tǒng)。

近來(lái)，又有專(zhuān)家根據(jù)系統(tǒng)(3)提出了相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)同，如下：

經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得出僅當(dāng)δ∈[O，1]，α∈(0.9，1]時(shí)系統(tǒng)(4)有混沌吸引子出現(xiàn)，并且通過(guò)計(jì)算α=0.98，α=0.92時(shí)的最大李雅普諾夫指數(shù)分別為0.532和0.347，從而進(jìn)一步說(shuō)明了系統(tǒng)(4)可以產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

對(duì)于上述系統(tǒng)(4)的分?jǐn)?shù)階微分方程組，Diethelm等提出了一種有效的分析方法稱(chēng)為預(yù)測(cè)校驗(yàn)法(predictor-corrector scheme)，該方法是對(duì)經(jīng)典Adams-BashforCh-Moulton方法的一種歸納與擴(kuò)展，本文的數(shù)值仿真就是依此方法進(jìn)行的。圖1、圖2、圖3為系統(tǒng)(4)參數(shù)α取值為0.985，萬(wàn)取值分別為δ=0.3，δ=0.8，δ=0.9時(shí)的仿真圖像。

二、圖像加密算法

圖像文件加密分為空間域加密與頻域加密，而空間域加密一般有三種方法：一種是像素位置置亂法，在保持像素灰度值不變的基礎(chǔ)上改變像素的位置，即用圖像置亂的方法來(lái)達(dá)到圖像加密的目的；另一種是像素值替代法，在保持像素位置不變的基礎(chǔ)上改變像素的灰度值；第三種是空間域復(fù)合法，即把前兩種方法結(jié)合，用既改變像素的位置又改變像素的灰度值的方法來(lái)達(dá)到加密的目的。

本文采用分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)產(chǎn)生用于圖像文件加密的混沌序列，并使用此混沌序列對(duì)圖像的像素值和像素位置均進(jìn)行了加密，由于希望加密所用的混沌序列能夠?qū)γ魑牡淖兓哂忻舾行?，因此將明文屬性疊加到混沌映射的初值和參數(shù)中。

加密算法的步驟：

步驟1：設(shè)原圖像為大小mxn的灰度圖像I，在位置(i，j)處的圖像像素值為I(i，j)，其中i∈[1，m]，j∈[1，n]。取I中所有像素值的平均值，對(duì)它做一定的處理后，分別與分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的初值和參數(shù)疊加，將疊加之后的初值x0，y0，z0和參數(shù)α，δ作為圖像加密的密鑰，并采用分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)(4)產(chǎn)生圖像加密中所需要的混沌序列Ckl和Ck2。

由于混沌序列是根據(jù)混沌系統(tǒng)的初值和參數(shù)產(chǎn)生的一系列偽隨機(jī)數(shù)，所以在混沌序列作用于圖像之前必須做一些處理。首先，對(duì)Ckl按照式(5)處理，得到dkl∈[O，255]。

其中，floor(x)表示取不大于×的最大整數(shù)，mod(x，y)表示運(yùn)算x除以y后取余。然后，把序列dkl變形為大小為m×n的矩陣Dkl，用于圖像像素值替代加密。

步驟2：由混沌序列Ck2生成等同于原圖像大小m×n的置亂矩陣Q，并按照置亂矩陣Q對(duì)原圖像矩陣l進(jìn)行像素位置置亂。

置亂矩陣的形成方法是首先將混沌序列Ck2進(jìn)行大小排序，對(duì)于大小相等的混沌序列值，則按取值的先后順序決定其大小順序，然后以它們?cè)谛蛄兄械呐判蛭淮未嫠鼈冏陨頂?shù)值，從而實(shí)現(xiàn)混沌序列變化至互不相同的整數(shù)值序列，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步由序列生成矩陣即為置亂矩陣。

步驟3：將矩陣Dkl與原圖像矩陣I進(jìn)行對(duì)應(yīng)位置元素一對(duì)一異或運(yùn)算，得到圖像像素值替代加密后的加密圖像矩陣R。

其中i∈[1，m]，j∈[1，n]，xor表示異或運(yùn)算。

解密算法的步驟：根據(jù)密鑰，把加密過(guò)程逆向運(yùn)算即可獲得解密圖像。

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

(1)密鑰空間分析

本文加密算法取分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的初始值x0，y0，z0，以及參數(shù)α，δ做為圖像加密的密鑰，那么按照計(jì)算機(jī)雙精度來(lái)計(jì)算，密鑰空間可以達(dá)到1096，這使得本加密算法足以抵抗窮舉搜索攻擊。

(2)密鑰敏感性分析

加密密鑰敏感性分析結(jié)果如圖4所示，其中(a)為原圖像，(b)為加密密鑰x0取值為8.43的加密圖像，(C)為解密密鑰x0取值為8.4300000000000001的解密圖像，(d)為解密密鑰x0取值為8.43的解密圖像，從仿真結(jié)果中比較可知，本算法對(duì)密鑰具有極強(qiáng)的敏感性。

(3)統(tǒng)計(jì)分析

抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊能力的好壞是評(píng)判圖像加密算法優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。圖5(a)為原始圖像的直方圖，圖5(b)為加密后圖像的直方圖。從圖5中可以看出，原始圖像的像素值在某些點(diǎn)出現(xiàn)的頻率很高，而加密后圖像的直方圖呈現(xiàn)類(lèi)隨機(jī)均勻分布，很好地掩蓋了原始圖像的像素值分布規(guī)律，增加了破譯的難度。

圖6所示為垂直方向原始圖像和加密后圖像相鄰像素的相關(guān)關(guān)系。

可見(jiàn)，原始圖像像素間的相關(guān)性呈現(xiàn)明顯的線(xiàn)性結(jié)構(gòu)關(guān)系，而加密圖像像素間的相關(guān)性呈現(xiàn)隨機(jī)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表1所示為原圖像和其加密圖像相鄰像素之間的相關(guān)系數(shù)?？梢?jiàn)，原圖像的相鄰像素高度相關(guān)，而加密圖像的相鄰像素相關(guān)系數(shù)接近于零，其相鄰像素已基本不相關(guān)。

(4)圖像抗干擾與抗攻擊分析

圖像在傳輸或進(jìn)行其他處理的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)受到噪聲的干擾和一系列的攻擊，所以抗干擾與攻擊能力的強(qiáng)弱也是檢驗(yàn)加解密算法優(yōu)劣的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。本文對(duì)加密后的圖像添加噪聲密度為0.05的椒鹽噪聲(見(jiàn)圖7(b))、添加均值為0方差為0.01的高斯噪聲(見(jiàn)圖7(e))和剪切部分?jǐn)?shù)據(jù)(見(jiàn)圖7(h))，解密之后分別得到圖7(c)(f)(i)?？梢?jiàn)，此加密算法對(duì)椒鹽噪聲干擾和剪切攻擊有較好的抵抗能力，對(duì)于高斯噪聲具有一定的抗干擾能力。此外本文加密算法中加密密鑰是基于所需加密圖像的信息疊加產(chǎn)生的，所以使得應(yīng)用于加密的混沌序列對(duì)所需加密的圖像具有非常高的敏
感性，可以有效抵抗已知明文攻擊。

admin

收藏 海報(bào)分享