置亂是圖像文件加密的常用方法，為了獲得更好的加密效果，我們提出了一種基于分?jǐn)?shù)階小波變換(FWT)的圖像加密新方法。該方法將二維分?jǐn)?shù)階小波交換與傳統(tǒng)的空問蛾圖像置亂方法相結(jié)合，對數(shù)字圖像在分?jǐn)?shù)階小波時頻城內(nèi)進(jìn)行圖像置亂，實(shí)現(xiàn)圖像的雙重加密。

一、分?jǐn)?shù)階小波變換定義及算法

根據(jù)相關(guān)資料，我們將FRFT和WT的概念相結(jié)合定義的FWT，根據(jù)該定義，一個給定二維信號的FWT為：

分?jǐn)?shù)階域表示為：

式(2)中hamnb（x’，y’）為母小波的尺度和平移函數(shù)，amn（am，an）是離散尺度，b=（bx’，by’）是位移尺度；p= [P1，P2]，P1、p2表示二維FWT的分?jǐn)?shù)階次。

二維FWT的重構(gòu)公式為：

由式(2)可知，以圖像為例二維FWT的計算步驟為：對待分析的圈像先做P1-0，P2-O階二維FR-FT，然后做二維WT，得到變換后的圖像。

根據(jù)分析可知以上的FWT是一個可逆的變換，因此可以用于圖像的加密處理，圖像重構(gòu)時，先做二維小波反變換(IWT)，然后做-P1-0，-P2-O階二維FRFT。

二、基于FWT的圖像加密

1、基于貓映射的圖像置亂方法

貓映射足圖像置亂中最基本也是最經(jīng)典的一個算法。一個數(shù)字圖像的像素坐標(biāo)為（x，y）∈S={0，1，2，…，N-1}，則它的貓映射定義為：

式(4)中，N為圖像二維矩陣的每行、每列的像素個數(shù)。

圖像住貓映射的置亂作用下，經(jīng)過線性拉仲再通過取模的運(yùn)算進(jìn)行折疊，達(dá)到像素位置變換的目的，不斷循環(huán)最終達(dá)到混亂。這種置亂從表面上看是雜亂無章的混亂，實(shí)質(zhì)上卻是有規(guī)律的置亂，而且貓映射具有龐加萊回復(fù)性。因此，這種單純地用圖像置亂對圖像進(jìn)行加密的方法，較易被未經(jīng)授權(quán)方通過統(tǒng)計分析等方法破譯。

2、基于FWT的圖像加密方法

為了增強(qiáng)圖像的安全性，結(jié)合FWT和圖像置亂算法，提出了基于FWT的圖像置亂加密方法。

FWT和圖像置亂方法棚結(jié)合實(shí)現(xiàn)圖像文件加密，具體實(shí)現(xiàn)流程如圖1所示。

基于FWT的圖像文件加密方法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1)輸入原始圖像，選定一個小波分解尺度和一對分?jǐn)?shù)階次( P1-O-O、P2-0-0)，其中P1-0-0、P2-0-0的取值范圍均為(O，1]，對原始圖像做階次為( P1-O-O，P2-0-0)的FWT;

2)對變換后的圖像進(jìn)行貓映射置亂，置亂次數(shù)為n，得到加密后的圖像。

解密過程即將以上加密流程逆向?qū)崿F(xiàn)。

由以上實(shí)現(xiàn)圖像加密的步驟可知，該加密方法具有三組的密鑰分別為：(1)分?jǐn)?shù)階次；(2)小波分解尺度；(3)置亂的映射，這三組密鑰均可以隨機(jī)選取，由這三組密鑰組成的密鑰空間是無窮大的，只有所有的密鑰都正確時，圖像才能被正確解密。

三、應(yīng)用實(shí)例與分析

1、圖像文件加密與解密仿真

選取二維圖像“woman”，像素尺寸為256×256，使用綦于FWT的圖像置亂方法對其進(jìn)行加密處理。實(shí)際的加密應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階數(shù)、小波尺度因子以及置亂映射可以在一定范圍內(nèi)任意選取。本實(shí)驗中，設(shè)計了分?jǐn)?shù)階次P1-O-0=0.40，p2-0-0=0.40；小波基函數(shù)為haar小波。采用二層變換分解，小波橫向的尺度兇子和縱向的尺度因子設(shè)為相等；設(shè)計置亂采用貓映射置亂。圖2給出了該方法用于圖像文件加密和解密的效果圖。

圖2(a)為原始圖像；圖2(b)為經(jīng)FWT變換后的圖像；圖2(c)為按照以上設(shè)計的密鑰對原始圖像加密得到的加密圖像；圖2(d)為使用錯誤的密鑰解密得到的錯誤的解密圖像；圖2(e)為使用正確密鑰解密重構(gòu)出的正確解密圖像。

該方法加密效果明顯，只有獲得全郎的正確密鑰，才能重構(gòu)出解密圖像。三組密鑰—分?jǐn)?shù)階次、小波尺度因子、置亂的映射，都是可以在特定范圍內(nèi)隨機(jī)選擇的，未經(jīng)授權(quán)方想要同時得到這三組密鑰是異常困難的事情，因此未經(jīng)授權(quán)方無法從密文圖像重構(gòu)出正確的解密圖像。

2、密鑰分析實(shí)驗

本文加密加法具有三組密鑰，其中任何一組密鑰錯誤都無法解密出正確的圖像。

（1）解密階次出錯

分?jǐn)?shù)階次足解密過程中一個重要的密鑰，設(shè)用于解晰的分?jǐn)?shù)階次為( P1-0，p2-0)。當(dāng)解密階次P1-0或P2-0出錯時，解密結(jié)果分別如圖3、圖4所示。

圖3(a)-圖3(f)分別表示P1-0=-0.7、-0.1、-0.5、-0.32、-0.42、-0.38的解密結(jié)果；圖4(a)-(f)分別表示p2-0=-0.7、-0.1、-0.5、-0. 32、-0.42、-0.38的解密結(jié)果。解密實(shí)驗結(jié)果表明：

1)當(dāng)解密分?jǐn)?shù)階的階次P1-0與正確密鑰-P1-0-0不一致時無法重構(gòu)出原始圖像；當(dāng)解密分?jǐn)?shù)階的階次p2-0與正確密鑰-P2-0-0不一致時也無法重構(gòu)出原始圖像；

2)P1-0選取錯誤時，圖像每一行上的信息無法得到解密，說明了分?jǐn)?shù)階次p1-0是作用于每一行的；P2-0選取錯誤時，圖像每一列上的信息無法得到解密，說明了分?jǐn)?shù)階次P2-0是作用于每一列的。

圖5、圖6分別為解密階次P1-0、P2-0出現(xiàn)不同偏差時，解密圖像與原始圖像的均方根誤差(MSE)曲線。圖5表明解密階次p1-0越接近正確密鑰-p1-0-0（-0.40），解密圖像越接近原始圖像。 p1-0與-0.40相差越大，MSE越大；P1-0越接近-0.40，MSE越??；當(dāng)P1-0=-0.40時，MSE為零，此時解密獲得了原始圖像。圖6的結(jié)論與此相似。

實(shí)驗分析可知，解密時作為其中一組密鑰的分?jǐn)?shù)階小波變換階次-P1-0-0、-p2-0-0具有安全性和魯棒性。

（2）解密小波尺度出錯

當(dāng)解密小波尺度出錯時，解密結(jié)果如圖7所示，其中，圖7(a)為原始圖像，圖7(b)為解密小波尺度出錯的解密圖像，圖7(c)、圖7(d)為部分解密小波尺度出錯的解密圖像。

由圖7(b)可知，解街小波尺度選取錯誤時是無法解密出正確圖像的；由圖7(c)可知，當(dāng)高頻小波尺度出錯而低頻小波尺度正確時，無法獲得圖像的細(xì)節(jié)信息，只能看到圖像的輪廓；由圖7(d)可知，當(dāng)?shù)皖l小波尺度出錯而高頻小波尺度正確時，獲得的圖像輪廓模糊，但是細(xì)節(jié)卻非常清晰。分析的結(jié)果說明二維小波分解后高頻部分描述的是細(xì)節(jié)信息，低頻部分描述的足輪廓信息。

實(shí)驗分析可知，解密時作為其中一組密鑰的小波尺度不僅可以提高圖像的安全性，還能實(shí)現(xiàn)部分解密。

（3）解密映射出錯

當(dāng)解密映射出錯時，解密結(jié)果如圖8所示。

圖8分別表示解密采用不同錯誤映射得到的錯誤圖像。由圖8可知，置亂能夠降低圖像的可見度，使圖像達(dá)到混亂的效果，要解密出原始圖像必須擁有正確的解密映射。

實(shí)驗分析可知，三組密鑰同時作用于圖像時，密文圖像的解密難度非常高，沒有密鑰的未經(jīng)授權(quán)方無法通過盲解密獲取正確的圖像信息。相比于其他加密方法，新方法密鑰更多，密鑰空間更大，因此保密性更高。

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