快速增長的多媒體處理技術(shù)及廣泛使用的網(wǎng)絡(luò)為信息的傳播提供了極大的便利，但開放的Internet也伴隨而來一些數(shù)據(jù)信息的泄露、隨意篡改及侵權(quán)，因此如何有效地保護(hù)網(wǎng)絡(luò)中信息的安全傳輸問題成了一項(xiàng)重要而又緊迫的研究課題，密碼技術(shù)將數(shù)據(jù)以一種無密匙用戶不可辨別的方式加密使數(shù)據(jù)更安全，多媒體數(shù)據(jù)加密已應(yīng)用于因特網(wǎng)通信、多媒體數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)圖像、遠(yuǎn)距離醫(yī)治、軍事通信等方面。多媒。體數(shù)據(jù)安全所面臨的挑戰(zhàn)是對(duì)手惡意地加入其他數(shù)據(jù)以干擾恢復(fù)真實(shí)信息的解碼工作，因此，數(shù)據(jù)加密時(shí)確保圖像安全是基本問題。

近來，大量的基于時(shí)頻分析的算法保證了重要信息的機(jī)密性和完整性。kilian數(shù)據(jù)隱藏法是對(duì)變換后的低頻系數(shù)加入安全信息，Miyazaki提出一種新的基于多樣性技術(shù)的彩色圖像多通道魯棒水印法，Satish提出基于混沌擴(kuò)散頻譜圖像數(shù)據(jù)隱藏(CSSIS)法。CSSIS處理成本低，可用于確保安全及隱私，使用混沌序列交錯(cuò)信息可以增強(qiáng)魯棒性，Agaian提出基于多帶概念的數(shù)據(jù)加密將安全性提高到更高水平。不同密碼的能量系數(shù)使用不同的量化系來量化，使得嵌入的信息比一般的圖像處理更魯棒。

本文提出一種基于黃金比的參數(shù)化Harr小波，并且將其應(yīng)用于圖像加密．研究表明，參數(shù)化Harr小波變換對(duì)圖像文件加密，解密都至關(guān)重要。

一、加密算法描述

1、Fibonacci和Lucas數(shù)列

整數(shù)序列l(wèi)，1，2，3，5，8，13稱為Fibonacci序列，并且在數(shù)字圖像、語音處理中有所應(yīng)用。Fibonacci序列可以表示為如下的遞歸形式：

其中Fo=F1=1，k=2，3，…，而Lucas數(shù)表達(dá)為：

其中L0 =1，L1=3，k=2，3，…，前幾個(gè)Lucas數(shù)是1，3，4，7，11，18，29，47，76。

Fibonacci序列的一條重要性質(zhì)是序列中元素與前一個(gè)元素的比值有一個(gè)稱為黃金比(1. 618 04)的極限。本文所提出算法中，黃金比定義為：

相關(guān)性質(zhì)：

2、兩種數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)

(1)可以驗(yàn)證：

(2)Lucas數(shù)可表示為：

(3)Lucas數(shù)與Fibonacci數(shù)的關(guān)系：

(4)Fibonacci數(shù)和Lucas數(shù)也滿足：

3、黃金Fibonacci變換

根據(jù)Fibonacci序列的離散正交變換及其快速算法，可處理Fibonacci序列一般形式所定義的大量離散點(diǎn)，極大地減小空間、時(shí)間上的指數(shù)復(fù)雜度。Fibonacci序列定義為：

其中，k≥0，φ(0)=1，且φ(k)=o，k<0的一組數(shù)列，令口是前述的黃金比，則4×4行向量兩兩正交的矩陣所定義的Fibonacci變換為：

該矩陣具有如下特點(diǎn)：

(1)首行元素有1，α-1，其余皆為零；

(2)第二行以1，α開始，比前行多出的元素滿足：其余為零；

(3)第三行以1，口，a2開始，多出元素也滿足以上關(guān)系；

(4)最后一行元素的特點(diǎn)是顯然的。

可見，Zi,i+1，是一首項(xiàng)為-a-i，末項(xiàng)為ai-2的等比數(shù)列的和，其公比q=a2。定義：

因此，5階Fibonacci變換矩陣為：

矩陣Z定義的正交變換，稱為黃金Fibonacci變換，因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)于規(guī)范的黃金Filoonacci序列，求該矩陣的逆時(shí)，需要將其列向量規(guī)范化，即將元素除以所在行元素平方和的平方根。

4、黃金比Hadamard變換矩陣

采用基于Fibonacci和Lucas數(shù)的方法構(gòu)造黃金Hadamard矩陣，當(dāng)n≥2，對(duì)稱正交矩陣：

是2階n型黃金Hadamard矩陣，其中：

當(dāng)n=3時(shí)，黃金Hadamard矩陣為：

使用Kronecker張量積能生成2k階N型黃金Hadamard矩陣:

令A(yù)是N階五類順序黃金Hadamard矩陣，Ai是為其第i列，又：

則矩陣：

是2N階k類順序黃金Hadamard矩陣，1類4，8階順序黃金Hadamard矩陣分別為：

以上矩陣所構(gòu)造的黃金Hadamard變換矩陣是正交的，其逆陣很容求解．用于信號(hào)處理時(shí)，正變換用原始矩陣，用其逆陣進(jìn)行反變換，即可對(duì)原始信號(hào)精確重構(gòu)。

二、構(gòu)建黃金比Harr小波變換矩陣

黃金比α定義如上，則式(12)所定義的對(duì)稱正交矩陣可認(rèn)為是對(duì)Harr小波矩陣：

中的元素賦予不同權(quán)值的黃金比Harr小波，而Bn是正交歸一化系數(shù)。

更一般的N階五型GR-Haar變換矩陣（TGRHN）定義如下：

式中，Ik是k階單位陣，0是合適的零陣，*同上，為Kronecker張量積，m=1，2，…，N=2m，n=2，3，4，…，且m+l≤n。例如，1型8階（n=3）TGRHi矩陣可以表示為：

其中TGRHl(n)為一些稀疏矩陣，即：

用TGRHN矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換，對(duì)一維信號(hào)有：

其中xN是一維列信號(hào)向量，反變換：

則可對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行精確重構(gòu)，其中因TGRHN是正交矩陣，所以：

具體使用時(shí)，先將信號(hào)按N的大小進(jìn)行分段，再進(jìn)行矩陣乘法即可，GR-Haar變換用于一維信號(hào)，其信號(hào)流程圖如圖1。從圖l可以看出，如果只用TGRH8（0）對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換，則相當(dāng)于對(duì)分段后的信號(hào)進(jìn)行第一層小波分解¨生此基礎(chǔ)上再使用TGRHi（1）是第2層小波分解；其后就是第3層，顯然，用該小波濾波器最多只能分解到第3層，因此使用16點(diǎn)GR-Harr變換矩陣最多能分解至第4層，因?yàn)門GRHN及其每一個(gè)因子矩陣都是正交矩陣，所以對(duì)分解后的信號(hào)只需用砭RHN（TCRHN的轉(zhuǎn)置）變換，就可以恢復(fù)原始信號(hào)。

GR-Harr變換本質(zhì)上與Harr小波相似，Harr小波的低通、高通濾波器為h0=[1-1]/√2和h1=[1-1]/√2，而GR-Harr小波濾波器分別為[ak,a-k]/bk和[a-k,a-k]/bk，其中bk=√a2k+a-2k。圖2為不同k值時(shí)的低通、高通濾波器幅頻特性。從圖2中可以看出，k值較小時(shí)，其低通和高通特性區(qū)別較為明顯，隨著k值增大其區(qū)別已不再明顯，但對(duì)不同的k值，有：

其中|Ho (jw)|、|Hi (jw)|分別是低通、高通濾波器的幅頻特性。(20)式表明，不同忌值時(shí)，低通、高通所對(duì)應(yīng)變換在頻域內(nèi)能量是互補(bǔ)的，且能量守恒。

結(jié)合圖1與圖2可知，變換子陣TGRH8(o），是將一維信號(hào)進(jìn)行了低通和高通分解，和一維離散小波變換相同，將其低頻結(jié)果放在數(shù)據(jù)的前半部分，高頻放在后半部分；TGRH8(0)是對(duì)低頻部分再進(jìn)行分解，...因此，也可以采用對(duì)應(yīng)于小波包的變換，即將式(17)中TGRHN(O)不變，TGRHN(0)變?yōu)椋?/p>

此時(shí)，所采用的變換陣為GR-Harr小波包矩陣。

對(duì)于二維信號(hào)的N階GR-Haar變換為：

其中BN為待變換信號(hào)．可見，該變換是對(duì)給定二維信號(hào)塊沿列和行變換，這樣，一層變換就將圖像塊分解為低低、低高、高低、高高共4部分；其余的依次類推．同一維信號(hào)的變換類似，反變換為：

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)時(shí)對(duì)256×256的liftingbody圖像加密處理，部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所。

圖中(b)和(c)分別為采用k=2的16=26點(diǎn)GRH小波和小波包變換；圖(d)和(e)則為k-3的64=26點(diǎn)變換；圖(f)是圖(e)不正確的解密結(jié)果，因?yàn)榇藭r(shí)忌=2，反變換解密的點(diǎn)數(shù)與正變換點(diǎn)數(shù)不同，從圖(g)和(h)比較可見，原始圖像變換后，其統(tǒng)計(jì)灰度發(fā)生了明顯的變化，該特性也反應(yīng)加密的隱秘性，大量仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

(1)為加強(qiáng)圖像的隱秘性，需選擇合適變換塊的大?。绻麎K太小，則不管采用小波或小波包變換，其加密效果均不理想；反之，塊大則運(yùn)算量大。因此，一般選擇N=32或64。

(2)一般地，對(duì)同樣尺寸的塊，小波包變換的加密效果優(yōu)于小波變換，因小波包在高頻子帶仍進(jìn)行加密變換，但小波包變換的計(jì)算復(fù)雜度幾乎為小波變換的2倍，若要求加密算法的實(shí)時(shí)性，可考慮GR小波加密。

(3)關(guān)于是的選擇，量越大則如前分析，其低通、高通特性已沒有很大的區(qū)別，此時(shí)其頻域特性近似于全通。從時(shí)域上看，因，可見，變換效果類似于對(duì)塊中的數(shù)據(jù)元素按一定的規(guī)則進(jìn)行位置的交換。

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