基于Arnold圖像置亂和離散傅立葉交換相結(jié)合的數(shù)字水印加密算法，首先將原始圖像劃分子塊，對每一圖像塊進行DFT變換，將二值水印圖像用Arnold交換置亂，然后按一定規(guī)則把水印信患分散嵌入到數(shù)字產(chǎn)品中。本圖像加密算法復(fù)雜度較低，實用性較強。

一、離散傅立葉變換和Arnold圖像置亂算法

1、離散傅立葉變換

離散傅立葉變換建立了離散空間域和頻域之間的聯(lián)系。數(shù)字圖像經(jīng)DFT變換后，圖像的空間域處理可轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域處理，最明顯的優(yōu)點是算術(shù)運算次數(shù)大大減少。

對于一幅M*N圖像f(x,y)，用玩砂是其頻率f(u,v)，則DFT變換和逆變換定義如下：

正變幻：

逆變換：

基于離散傅立葉變換的研究方向主要有兩大類：一類是基于DFT域的平移、縮放和旋轉(zhuǎn)的幾何不變性，將載體圖像進行Fouier-Millin變換實現(xiàn)水印的嵌入來抵抗幾何攻擊。另一類是利用傅立葉域的頻譜信息來嵌入水印，研究發(fā)現(xiàn)水印應(yīng)嵌入在最重要的分量以獲得較好的魯棒性，嵌入的方法主要有相位譜、幅度譜、相位和幅度譜結(jié)合幾種，本文采用的是幅度譜水印算法。

傅立葉變換是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的變換，如果在計算機上按照其定義式來計算的話，計算量將非常大。由此人們提出了快速傅立葉交換算法FFT。它與原始算法的計算量之比為N/log2N。當(dāng)N比較大時，計算量的節(jié)省將相當(dāng)可觀。

2、Arnold變換

（1）定義

Arnold變換是Arnold在遍歷理論中提出的一種變換，俗稱貓臉變換。設(shè)想在單位正方形上的點(x，y)，將其變到另一點(x'，y')的變換為：

此變換稱作Arnold變換。將Arnold變換應(yīng)用在數(shù)字圖像上，可以通過像素坐標的改變而改變圖像灰度值的布局。經(jīng)過Arnold變換后的圖像會變得“混亂不堪”但繼續(xù)使用Arnold變換，會出現(xiàn)一幅與原圖相同的圖像，說明Arnold變換具有周期性。

對于大小為N*N的圖像F，可進行離散化Arnold變換：

其中，x,y∈{0，1，2，．．．，N-1}，(x,y)表示圖像矩陣的某個元素未變換時的位置，（x’，y'）表示變換后新的位置。對圖像F中所有的像素進行Arnold變換就完成了一次Arnold變換。

（2）Arnold變換周期

設(shè)有一幅2*2的圖像，其數(shù)字矩陣為：

經(jīng)過幾次Arnold變換過程如下：

即該圖像經(jīng)過3次變換恢復(fù)了原圖，可見當(dāng)N=2時，Arnold變換的周期為3。本算法采用的水印圖像尺寸為40*40，變換周期為30，即迭代進行30次Arnold置亂后，水印圖像將恢復(fù)原來面目。對于不同的圖像矩陣階數(shù)N，Arnold變換有不同的周期，表1為不同階下二維Arnold變換的周期。

可以看出，矩陣階數(shù)N與Arnold變換的劇期并不成正比。因此，在設(shè)計數(shù)字水印圖像大小的時候，如果從減少運算量的角度出發(fā)，盡量選擇變換周期較小階數(shù)的圖像。
Arnold變換具有算法簡單、計算花費少、置亂后的圖像總像素個數(shù)不變等特點，因此加密效果較好。

二、圖像加密算法分析

圖像加密算法包括水印嵌入和提取過程，所使用的水印為二值圖像，載體是256*256的灰度級lena圖像。

1、水印嵌入算法

設(shè)X為原始圖像，待隱藏的二值圖像為W，首先將原始圖像劃分子塊，對每一圖像塊進行DFT變換，將二值水印圖像用Amold變換置亂。產(chǎn)生兩個偽隨機序列。置亂水
印矩陣值為0時用一個偽隨機序列與原始圖像的幅度譜進行乘性疊加，矩陣值為l時，用另一個偽隨機序列與原始圖像幅度譜進行乘性疊加。

（1）子塊劃分，將原始圖像分成8*8的圖像子塊。

（2）對每一圖像塊進行DFT變換。

（3）對二值水印圖像W進行Arnold變換。

（4）產(chǎn)生兩個不相關(guān)的偽隨機序列。

（5）修改相應(yīng)幅度譜值。

由于DFT域的幅度譜具有對稱性，為了保持水印嵌入后對稱性不變，嵌入水印時采用對稱嵌入。

（6）對每一圖像塊進行DFT逆變換，得到含水印圖像。

2、水印提取

（1）子塊劃分，將嵌入水印圖像分成8*8的圖像子塊。

（2）對每一圖像塊進行DFT變換。

（3）產(chǎn)生兩個不相關(guān)的偽隨機序列。

（4）計算嵌入水印幅度譜弓偽隨機序列的相關(guān)性，并按照嵌入時的規(guī)則產(chǎn)生水印矩陣。

（5）將水印矩陣用Arnold變換進行置亂得到提取水印。

三、實驗結(jié)果與分析

1、嵌入和提取實驗

在matlab7.0環(huán)境下對提出的算法進行仿真。仿真實驗采用256*256的灰度級lena圖像作為載體圖像，用一幅40*40大小、“青海民大”字樣的二值圖像作為水印圖像，
如圖1所示。添加水印后的圖像質(zhì)量、水印信息的失真程度分別用峰值信噪比(PSNR)和相似比(NC)來衡量。

按照嵌入算法，取嵌入強度k= 1.0進行信息隱藏得到隱藏后的圖像如圖2所示。水印的不可見性是數(shù)字水印必備的特性之一，不可見性通常使用PSNR指標進行衡量，一般情況下，如果PSNR指標大于30dB，則認為水印不可見。

實驗表明嵌入信息后的圖像相對于原圖像有較高的峰值信噪比PSNR-41 .6484dB。從嵌入水印的圖像及相應(yīng)指標可以看出，嵌入水印圖像與原載體圖像幾乎沒有差別，人眼無法區(qū)分其差異，所得到的PSNR大于40dB，這說明該算法嵌入水印的不可見性很好。

根據(jù)水印提取算法，對圖2進行算法提取。得到圖3所示的提取水印信息，相似比NC=o.99305。NC指標接近于1，說明算法所嵌入的水印能夠被很好地提取，實際的水印提取結(jié)果也說明了這一點。進一步測試表明水印嵌入強度越大，提取的水印效果會越好，但相應(yīng)的嵌入水印圖像的失真會比較明顯。在實際應(yīng)用中可按不同的情況均衡嵌入強度與水印不可感知性之間的矛盾。

2、攻擊測試

（1）JPEG壓縮測試

將含有水印的圖像以質(zhì)量因子Q進行JPEG壓縮。質(zhì)量因子Q表示壓縮比，Q的取值范圍是0～100之間，取值越大，圖像壓縮失真越小，圖像效果越好，但圖像文件就越大。Q越小表示壓縮比越高，攻擊強度也越大。圖4是Q=90時Lena的壓縮圖像和為其提取的水印，NC=0.84824。從檢測出的水印以及實驗數(shù)據(jù)可看出，該算法對JPEG壓縮有比較強的魯棒性，表現(xiàn)出了一定的抗JPEG壓縮攻擊的能力。

（2）旋轉(zhuǎn)攻擊測試

對含水印圖像進行旋轉(zhuǎn)，提取出的水印圖像和相應(yīng)的實驗檢測結(jié)果如圖5所示。

由實驗結(jié)果可知，通過對含水印圖像旋轉(zhuǎn)，提取的水印圖像質(zhì)最受到嚴重影響NC值只有0.78118，說明該圖像加密算法抵抗旋轉(zhuǎn)的能力較弱。

（3）抗噪聲攻擊

對含水印圖像添加噪聲密度為0.01的椒鹽噪聲后提取的水印如圖6所示。

從實驗結(jié)果可以看出，隨著噪聲強度的加大，含水印圖像以及提取的水印的失真變大，抗攻擊能力降低。

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