基于二維可逆映射的圖像加密算法可以通過(guò)置亂圖像像素位置實(shí)現(xiàn)圖像文件加密。二維可逆映射可以高效地實(shí)現(xiàn)網(wǎng)像像素置亂。二維可逆映射由壓縮拉仲和折疊兩個(gè)子映射組成。壓縮拉仲映射，使原始圖像變換成線，折疊映射使線變換成罔。所有可逆映射構(gòu)成了可逆映射集合。經(jīng)過(guò)擴(kuò)散處理改變像素值，實(shí)現(xiàn)圖像文件加密。

一、二維可逆映射原理和加密算法

二維可逆映射利用了圖像的一個(gè)重要性質(zhì)：像素能通過(guò)插入到其他像素之間從而壓縮為線。設(shè)圖像大小為M×N。通過(guò)映射首先將原圖像壓縮拉伸為長(zhǎng)MN的直線，然后再折疊成一個(gè)M×N的圖像。

如圖1所示。(a)為上下壓縮對(duì)角線折疊映射，(b)為左右壓縮渦卷折疊映射。

設(shè)圖像大小為M×N，設(shè)A(i,j)，i=1，2，…，N；j=1,2，…，M為圖像中的任意一點(diǎn)，l(i)，i=1，…，MN為將A(i,j)拉伸后的向量，B(i,j)，i=l，2，…，N；j=1，2，…，M為折疊后生成的密圖坐標(biāo)為(i,j)的像索點(diǎn)。[x]是取最接近于X的整數(shù)。

1、壓縮算法

本文只在水平和垂直兩個(gè)方向推導(dǎo)了壓縮算法，分別為上下壓縮映射和左右壓縮映射。

（1）上下壓縮算法

如圖1(a)所示，上下壓縮映射算法如下：

首先定義函數(shù)：

則上下壓縮算法為：

其中：

其中：

（2）左右壓縮算法

該壓縮算法無(wú)論形式還是推導(dǎo)過(guò)程都與上一種類(lèi)似。

如圖1所示，左右壓縮映射算法如下：

首先定義函數(shù)：

則左右壓縮算法為：

其中：

其中：

2、折疊算法

推導(dǎo)了兩類(lèi)折疊算法，分別是對(duì)角線折疊和渦卷折疊。

其中每一種根據(jù)不同的起點(diǎn)又有四種變換，這樣一共是12種折疊算法。四處起點(diǎn)分別為：左上、右上、左下和右下。本文只對(duì)兩類(lèi)算法在左上起點(diǎn)處給出了數(shù)學(xué)公式。

（1）對(duì)角線折疊算法

如圖1(a)所示，對(duì)角線折疊算法如下：

其中：

其中：

其中：

式中，lmin表示M和N中的較小值，lmin表示M和N中的較大值。

（2）渦卷折疊算法

如圖1(b)所示，渦卷折疊算法如下：

定義函數(shù)：

則渦卷折疊算法為：

其中：

其中：

式中，lmin表示M和N中的較小值，lmin表示M和N中的較大值。

3、二維可逆映射集

上面介紹了兩種壓縮算法：上下壓縮和左右壓縮；兩類(lèi)折疊算法：對(duì)角線折疊和渦卷折疊；而每類(lèi)折疊依據(jù)起點(diǎn)不同又分為四種，即折疊算法一共有2×4=8種。將壓縮和折疊組合成可逆映射，則一共有2×8 =16種映射。將16種映射用A，B．…，O，P表示，其構(gòu)成二維可逆映射集，用Z表示。即：

見(jiàn)表1所示：

如E表示上下壓縮和左上起點(diǎn)渦卷折疊組合的二維可逆映射。

二、使用二維可逆映射實(shí)現(xiàn)圖像的加密和解密密鑰設(shè)計(jì)

由于各種映射構(gòu)成了二維可逆映射集。將子映射種類(lèi)和映射次數(shù)設(shè)計(jì)為密鑰Keyo如Key；A1F2K3P4，表示圖像依次A映射1次，F(xiàn)映射2次，然后用K映射3次，最后用P映射4次。其中A.F、K和P所代表的映射種類(lèi)可查閱表1。為了保證加密效果，每一個(gè)部分密鑰值都小于10。

加密算法如圖2所示：

圖像加密算法所采用的擴(kuò)散函數(shù)為：

式中，A(i,j)是指擴(kuò)散前每一個(gè)像素的值，A’(i，j)為擴(kuò)散后的像素值，256灰度圖L= 256。

圖像加密算法分為三步：

1)利用密鑰及公式(1)一(4)。將圖像A(i,j)拉仲成一條直線l(i)，i=0，1，…，MN -1。

2)利用公式(6)一(9)，將直線折疊，得到置亂圖像C(i,j)。

3)利用擴(kuò)散函數(shù)，對(duì)置亂圖像進(jìn)行處理得到密圖。

如圖3所示，圖像解密算法與加密算法相反，解密過(guò)程與加密過(guò)程對(duì)稱(chēng)，且解密密鑰與加密密鑰相同。

三、加密實(shí)例和安全性分析

通過(guò)運(yùn)行仿真程序，得到了較好的加密結(jié)果；仿真結(jié)果表明該方法安全性較好。

1、運(yùn)用二維可逆映射加密實(shí)例

如圖4所示，對(duì)256灰度圖文件加密。為了研究二維可逆映射的加密效果，沒(méi)有加入擴(kuò)散函數(shù)。此時(shí)，加密系統(tǒng)僅僅置亂圖像，沒(méi)有改變圖像的像素值（直方圖不變），如圖4(d)。如圖4(b)所示當(dāng)Keyi=A1時(shí)，圖像已沒(méi)有原圖 特征。

如圖4(c)所示當(dāng)Key2=AIM2C3P4F5J6H7L8時(shí)，密圖像素平均分布，加密效果良好。

2、安全性能分析

密鑰空間分析

由于最基本、最流行的破解方法是對(duì)密鑰進(jìn)行窮盡搜索。密鑰空間大是加密算法安全的前提。加密算法的密鑰空間如表2所示。研究表明，密鑰空間大小只和密鑰長(zhǎng)度有關(guān)，在理想情況下（計(jì)算速度允許），可認(rèn)為密鑰能無(wú)限增加。

密鑰敏感度

當(dāng)加密密鑰Key=AIM2C3P4F5J6H71J8加密時(shí)，用解密密鑰Key1=AIM2C3P4F5J6H7K8和Key2=AIM2C3P4F5J6H7 L9分別解密。如圖5所示，即使加密密鑰和解密密鑰僅一位有最小的差異，也無(wú)法解密圖像，證明對(duì)密鑰差異非常敏感。

相關(guān)性統(tǒng)計(jì)分析

由于原始圖像相鄰像索之問(wèn)具有很強(qiáng)的相關(guān)性，而二維可逆映射置亂像素后，一個(gè)很重要的特性就是改變了原來(lái)相鄰像索間的聯(lián)系。如果加密圖相鄰像素之間相關(guān)性變小，說(shuō)明密圖安全性變強(qiáng)。

用下列兩個(gè)公式計(jì)算他們的相關(guān)系數(shù)：

式中x、y為兩個(gè)相鄰點(diǎn)的灰度值。

原圖的相關(guān)系數(shù)為0. 9578．加密之后的相關(guān)系數(shù)為0.0047，證明密圖相鄰像素之間相關(guān)度接近于零。相鄰點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)如表3所示，說(shuō)明密圖相鄰像素之間相關(guān)性很小。

3、擴(kuò)散算法

僅對(duì)圖像進(jìn)行置亂，而不改變像素值足不安全的，很難抵御朋文攻擊。因此為了增強(qiáng)加密算法的安全性，增加擴(kuò)散函數(shù)。

見(jiàn)式(10)。將置亂圖像進(jìn)行一次異或變換（擴(kuò)散算法），可得到各灰度級(jí)下的像素點(diǎn)數(shù)趨于相同，這樣更好的隱藏了圖像的信息，從而可以抵御明文攻擊。加密后，密圖和直方圖分別如圖6(a)、(b)所示。

四、與其他混沌加密技術(shù)的比較

和其他混沌映射比較具有：

①更大的密鑰空間

如Baker map最大為2N-1（N為圖像的寬），而本加密的密鑰空間理論上只和密鑰長(zhǎng)度有關(guān)，只要計(jì)算速度允許，秘鑰長(zhǎng)度可隨之增加。

②對(duì)密鑰變化更敏感

本圖像加密算法將密鑰設(shè)計(jì)為整個(gè)圖像拉伸、折疊的數(shù)目，因此只要秘鑰稍有變化，密圖就會(huì)截然不同。但其他二維混沌映射基本都將圖像分塊的數(shù)目設(shè)計(jì)為密鑰，拉伸、折疊操作都是對(duì)部分圖像進(jìn)行的。因此，用相似的密鑰可以解密密圖，降低了加密安全性。

③加密算法更加簡(jiǎn)單、清晰，易于實(shí)現(xiàn)

如Baker map的一般形式下的算法具有非常復(fù)雜的形式。而本加密算法非常簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。

④加密速度快，能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)加密

在一臺(tái)Pentium M l.3Gffz的筆記本電腦上仿真表明，未優(yōu)化的二維可逆映射的VC程序，運(yùn)行速度約為3Mbpso能滿足實(shí)時(shí)加密需要。

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