離散分數隨機變換和線性同余理論，我們提出一種單通道雙彩色圖像加密算法。該加密算法將輸入的兩幅RGB圖像轉換成相應的索引圖像格式，其中一幅2維索引圖像被編碼為振幅部分，另一幅則被編碼為空域相位掩模。分數域相位掩模由線性同余發(fā)生器(LCG)生成，并將彩色映射矩陣嵌入其中。引入光學幅相調制技術，在不增加光學元件的基礎上來實現了雙彩色圖像文件加密。

一、基于DFrRT的單通道雙彩色圖像加密算法

1、采用LCG(Linear Congruential Generator)隨機化分數傅里葉變換的核矩陣

2維信號B的離散分數隨機變換表示為：

式中T表示矩陣的轉置運算，p是DFrRT的分數階。變換核矩陣Hp表示為：

其中y為本征向量矩陣，Dp為DFrRT本征值的對角矩陣：

式中t是DFrRT的周期。隨機化本征向量就使Hp具有了隨機性，因而生成隨機化的本征向量是DFrRT的核心。目前利用計算機生成均勻隨機數的常用方法是LCG法，遞推關系為：

其中初值x0(0≤x0<M)，乘數a(0≤a<M)，增量c（0≤c<M），模數M(M>0)為算法的4個參數。利用LCG生成的隨機序列重構一個2維偽隨機矩陣R，并生成一個實數對稱矩陣S：

矩陣S與Hp滿足HpS=SHp，它們具有相同的本征向量，數值計算方法可以得到矩陣S的歸一化本征向量。矩陣S是對稱的隨機矩陣，所以Hp的本征向量相互正交且具有隨機性，LCG參數的變化將導致DFrRT結果的改變。

2、單通道雙彩色圖像加密算法

RGB圖像可看作由紅、綠、藍分量形成的堆，索引圖像是一種把像素值直接作為彩色映射矩陣下標的圖像。索引圖像包含兩個分量：整數的數據矩陣和一個取值范圍在[0，1]之間的彩色映射矩陣Z，Z的每一行都定義單色的紅、綠、藍3個分量。索引圖像將每個像素的顏色由對應的整數矩陣的值作為指向Z的一個指針決定。本文加密算法將兩幅RGB格式的彩圖1和彩圖2分別轉換成索引格式圖像，對應的數據矩陣為A1和A2，對應的彩色映射矩陣為Z1和Z2，把Z1和Z2嵌入由LCG生成的偽隨機矩陣R中作為相位信息A3。由于R和Z的取值范圍都在[0，1]之間，A3既保持了R的隨機性和均勻性，又隱藏了Z1和Z2。分別對A1，A2和A3做歸一化處理以限定它們在相位分布函數和振幅函數的范圍中。

這里取A=1+max(A1，A2)。加密過程如圖1(a)所示。

運用空間光調制器(SLM)，分別將I2和I3調制成空域相位掩模M1（x，y）和分數域相位掩模M2（u，v），即：

明文I1在空域被Mi調制，構成入射波函數G(x，y)= I1(x，y)M1(x，y)，對G(x，y)進行一次p1階的DFrRT，在分數域平面(u，v)上得到：

用分數域相位掩模M2對|G1|進行相位調制，|*|表示計算復函數的模值。對調制后信息進行p2階DFrRT，在輸出平面上得到的密文為：

除了傳統(tǒng)的分數階參數p1，p2作為密鑰外，本文加密算法還增加了隨機化變換核矩陣時LCG的4個參數作為密鑰。相位密鑰是本文算法的關鍵，相位密鑰ω和輸出相位ψ的關系為：

其中Arg*]表示計算復函數相位值。輸出密文為復振幅函數|G2’ (x'，y')|exp [iψ(x'，y')]。

圖1(b)所示為解密流程，是上述加密過程的逆過程。由密文相角ψ，密鑰ω和|G2 |還原復函數G2 (x'，y')并進行-p2階的DFrRT，得到：

由式中相位值能恢復明文I3，通過I3減去ω計算相角φ，結合|G 1|可以在分數域平面上恢復出G1(u，v)。將G1(u，v)進行-p1階DFrRT，I1和I2的解密過程為：

3、加密算法的光學實現

DFrRT的實現目前還沒有嚴格的光學結構，我們需要采用一種模擬光學裝置來實現DFrRT。實現單通道雙彩色圖像加密算法的光電混合裝置如圖2所示。

第1次光學加密實現式(8)，復函數G1(u，v)的幅值可用CCD記錄，相位可采用3步相移數字全息技術檢測。在第2次光學加密前，SLM調制為M2，I1更換為|G1|，調整分數域距離d以實現分數階次的改變。實現式(9)的加密過程后，再用砂對|G2|進行相位編碼。因本文采用的幅相調制技術同時完成雙彩色圖像單通道加密，便于用光學設備實現加密。

三、雙圖像加密算法的數值模擬

模擬中分數階次p1 =0.3，p2=0.6；線性同余函數的參數x0=100，a=16805，c=7，M=231-1。

待加密的兩幅原始彩色圖像如圖3(a)，3(b)所示，圖3(c)是嵌入了彩色映射矩陣Z1和Z2的偽隨機相位矩陣A3，圖3(d)是最終密文的振幅輸出IG21，可以看出加密圖像類似于噪音圖像。圖3(e)，3(f)分別對應2維索引圖像A1和A2的直方圖，圖3(g)對應密文振幅的直方圖，加密圖像的直方圖明顯變平滑了，密碼分析者難以通過統(tǒng)計特性獲得原始圖像的特征。在密鑰相同的條件下，用歸一化的3幅灰度圖像替代I1，I2和I3，圖4表明用此加密算法加密統(tǒng)計特性完全不同的圖像，密文的直方圖非常相似。證明加密算法符合經典密碼理論中的混淆與擴散思想，可有效抵抗統(tǒng)計分析破譯。

根據彩色映射矩陣的嵌入方式，解密者可從I3還原Z1和Z2，結合I和I2還原的A1和A2恢復兩幅彩色圖像。當所有密鑰都正確時，解密的彩色圖像如圖5(a)和圖6(a)所示，兩幅圖像間不存在相互串擾。本文加密算法對不同Z矩陣同時加密，尤其適用于有高保密要求的彩色圖像保護。

數值模擬中假設其它密鑰均正確，僅分數階P1偏差0.01時的兩幅解密圖像如圖5(b)和圖6(b)所示；僅分數階p2偏差0.01時的解密圖像如圖5(c)和圖6(c)所示；驗證了分數階密鑰的安全性。為了說明LCG參數密鑰的安全性，引入偏差值△，假設其它密鑰均正確，圖5(d)，5(e)，5(f)和5(g)表示LCG的4個參數分別偏差△=1時對應于彩圖1的解密圖像；圖6(d)，6(e)，6(f)和6(g)表示LCG的4個參數分別偏差△=1時對應于彩圖2的解密圖像。

三、加密算法安全性分析

衡量解密圖像和原始圖像的相似程度一般采用均方誤差(MSE)。h1（i，j）和h2（i，j）分別代表原圖和解密圖像的灰度值，均方誤差定義如下：

其中M×N為圖像的大小。本文設定均方誤差3000作為閾值，當均方誤差低于此閾值時，圖像的全部信息可以被復原。

1、相位密鑰安全性分析

模擬中假設其它密鑰正確，為了驗證相位密鑰ω的安全性，給ω加入一定范圍的偏差，偏差后的相位密鑰為ω=ω+d△r，其中d是偏離的幅度，△r是均勻分布于區(qū)間[o，27r]的隨機相位。圖5(h)和圖6(h)所示為d-l時對應的兩幅解密圖像。d在[-1，1]之間變化時，對應I1和I2解密的兩條MSE曲線如圖7(a)所示，圖中用實線標明了MSE閾值。I1和I2的MSE曲線在閾值以下部分d的變化范圍△di和△d2顯示于圖7(a)中。相位密鑰的大小為(256×256)，其變化區(qū)間為[01 27r]，且△d2<△d1=0.25，算法的密鑰空間近似為(271/0.25)256×256≈25256x256，這個龐大的數字表明盲解密者很難實施窮舉攻擊。

本加密算法中，密文和相位密鑰ω都與輸入圖像的彩色映射矩陣有關，攻擊者難以獲得大量的資源（如明文密文對）用于選擇密文攻擊，已知明文攻擊和選擇明文攻擊。唯密文攻擊只需一個完整的密文，也是常用的驗證加密算法安全性的方法之一。如果攻擊者已知整個加密算法和除ω之外其它的密鑰，且獲得了密文|G2’ (x'，y')|exp [iψ(x'，y')]，基于相位迭代算法的唯密文攻擊方案設計為：

（1）以任意隨機相位ψ替代相位密鑰ω，完成式(11)和式(12)的解密過程；

（2）將第(1)步解密得到的I1，I2和I3代入式(8)和式(9)的加密過程，并計算新的相位密鑰ψ’；

（3）用第(2)步計算的相位密鑰ψ’再次替代相位密鑰ω，重復(1)到(3)步的計算，直到計算完成設定的迭代次數。

圖7(b)是唯密文攻擊者對圖像解密進行500次迭代計算后，I1和I2解密隨迭代次數變化的均方誤差曲線。由圖可知，當迭代計算進行100次后，MSE沒有收斂趨勢，并且始終大于閾值3000，圖像不能被恢復，表明本文加密算法可以很好地抵抗唯密文攻擊。

2、DWRT密鑰安全性分析

為了考查加密方法對抗盲解密的能力，圖8(a)，8(b)分別對應分數階密鑰pl和p2進行了靈敏性分析，僅當p1=0.3，p2=0.6，I1和I2才能完全復原；測試發(fā)現任何一個分數階的偏差值大于0.005時，MSE>3000，得到的解密圖像有相當強的噪聲。分數階密鑰具有很高的靈敏度，意味著密鑰空間巨大，窮舉攻擊很難成功。

隨機化離散FrFT的核矩陣時，把LCG產生的隨機矩陣和FrFT集成為一個隨機的變換，加密算法密鑰數量由2重增加到6重，加密更為安全。

圖9給出兩種變換分數階密鑰對應Il解密的MSE對比，DFrRT的靈敏性明顯好于FrFT。對應LCG的4個參數密鑰的靈敏性分析如圖10所示，任何一個LCG參數的偏差量|△|>1時，MSE>5000；線性同余函數的4個參數作為密鑰具有幾乎相同的靈敏性，擁有巨大的密鑰空間，能有效抵抗窮舉攻擊。

3、魯棒性分析

圖像處理和傳輸過程中會有噪聲的影響或物理損壞，算法抵抗噪聲和裁剪攻擊的魯棒性很重要。均值為o，方差為0.1的高斯噪聲Ⅳ加入|G2|，噪聲干擾后加甯圖像振幅為|G2 ’|。

其中k是噪聲強度的系數。對應k的變化，解密圖像I1和I2的均方誤差變化如圖11(a)所示，圖11(b)和11(c)分別為加密圖像受到k=0.5強度高斯噪聲攻擊后I1和I2的解密圖像，I1的解密效果明顯強于12。由圖11(a)可知，隨著k的增大，I2的MSE比I1的MSE增加更快，說明調制在相位部分的圖像比調制在振幅部分的圖像更易受噪聲干擾，但兩者的MSE均小于2000，表明加密算法具有良好的抗噪聲攻擊能力。

圖12(a)為裁剪1/4后的加密圖像，圖12(b)和12(c)分別為裁剪攻擊后I1和I2的解密圖像。從模擬結果中可知，圖像的大部分信息依舊能夠恢復，該系統(tǒng)具有良好的抗裁剪攻擊能力。

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