針對(duì)當(dāng)前的元胞自動(dòng)機(jī)加密系統(tǒng)不具備記憶功能，使其安全性和加密速度不理想；且目前的圖像加密算法都忽略考慮時(shí)間延遲現(xiàn)象，無(wú)法體現(xiàn)加密的真實(shí)過(guò)程。對(duì)此，我們提出了一種可逆線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)與時(shí)間延遲函數(shù)，采用三者相融合的加密算法來(lái)克服上述問題；并將非線性耦合置亂方法引入算法中。

該圖像加密算法首先將迭代一維線性分段映射所得到的一維數(shù)組，該數(shù)組通過(guò)非線性耦合置亂方法后得到一個(gè)置亂數(shù)組，并利用該數(shù)組對(duì)初始圖像進(jìn)行置亂處理，改變像素位置；然后將時(shí)間延遲引入到Logistic映射中，利用可逆線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)的演變規(guī)則對(duì)三者相融合所生成的時(shí)間延遲偽隨機(jī)數(shù)組進(jìn)行迭代，得到迭代數(shù)組。

一、可逆線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)

元胞自動(dòng)機(jī)( cellular automata，CA)是由m個(gè)相同元胞的數(shù)組構(gòu)成的，包括了四個(gè)部分：元胞、元胞鄰域、元胞空間以及演變規(guī)則。其每個(gè)元胞均可維持一個(gè)狀態(tài)值z(mì)，z∈(0，1)，并在離散的時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)根據(jù)演變規(guī)則來(lái)異步更新。用來(lái)表示第i個(gè)元胞，半徑r的對(duì)稱領(lǐng)域矢量可定義為ni。

用qi(t)為第i元胞在第t時(shí)刻的狀態(tài)，則r的元胞自動(dòng)機(jī)的局部轉(zhuǎn)換函數(shù)為：

則可逆線性元胞自動(dòng)機(jī)的局部轉(zhuǎn)換函數(shù)為：

由于當(dāng)前的可逆線性元胞自動(dòng)機(jī)不具有記憶功能，其每個(gè)元胞都是根據(jù)它的鄰居元胞條件來(lái)更新其狀態(tài)，而且只能在其前一個(gè)時(shí)間步更新。為此，提出可逆線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)，使其具備記憶貯存功能。

考慮到鄰居元胞在t時(shí)刻以及t-1時(shí)刻、t-2時(shí)刻、...的狀態(tài)，從而有助于確定其在t+1時(shí)刻的狀態(tài)，則第忌階線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)的局部轉(zhuǎn)換函數(shù)為：

式(4)中，fi是元胞半徑為r的線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)的局部轉(zhuǎn)換函數(shù)，其中1≤i≤m，且利用時(shí)間延遲偽隨機(jī)序列來(lái)迭代該演變規(guī)則。

為了線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)能夠可逆，成為可逆線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)，設(shè)立如下定義：

如果fk（nit-k+l）= qit-k+l，則線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)是可逆的，成為可逆線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)，其演變規(guī)則如下：

二、時(shí)間延遲函數(shù)

時(shí)間延遲作為自然界必然的規(guī)律，在圖像加密領(lǐng)域中的混沌序列生成過(guò)程中也是如此。采用logistic映射作為序列的生成器，其模型如下：

設(shè)定初值面o，對(duì)模型(6)進(jìn)行迭代得到數(shù)組x={x1，X2，X3，...，xn}。

由時(shí)間延遲函數(shù)公式(7)將時(shí)間延遲引入到數(shù)組面中，不斷迭代更新，得到關(guān)于時(shí)間延遲數(shù)組x={x1，X2，X3，...，xn}。

在式(7)中，tk表示生成對(duì)應(yīng)的偽隨機(jī)數(shù)X1，X2，X3，…，Xn的第后個(gè)時(shí)間延遲值，這個(gè)時(shí)間延遲值由logistic映射模型式(6)控制。

因時(shí)間延遲造成了額外的時(shí)間成本。因此，需要限制時(shí)間延遲值Tk，以降低計(jì)算成本，若時(shí)間延遲Tk在t時(shí)間間隔步驟范圍內(nèi)，如以下模型：

式(8)中，floor(h)代表是與X相距最小的X整數(shù)，mod(h，t)代表的是h對(duì)t取余。

三、可逆線性記憶CA融合時(shí)間延遲的圖像加密算法

加密算法的流程圖如圖1所示。

1、加密算法描述

步驟1：令明文圖像大小為MxN，設(shè)定好初值vo，迭代一維線性分段混沌映射，得到一維數(shù)組v={v0，v1，v2，...，vM×N}。一維線性分段混沌映射模型如下：

式(9)中，v∈[O，1]以及p∈[O，0.5]視為密鑰。

步驟2：根據(jù)得到的數(shù)組構(gòu)造非線性耦合置亂方法，得到置亂數(shù)組v'={v0'，v1'，v2'，...，vM×N'}。

式(10)中，后為本文所需的密鑰。

步驟3：設(shè)定好logistic映射的初值xo，并進(jìn)行迭代計(jì)算，得到數(shù)組x={x1，X2，X3，...，xn}，由logistic控制時(shí)間延遲值Tk，根據(jù)時(shí)間延遲函數(shù)式(7)將時(shí)間延遲引入到數(shù)組x={x1，X2，X3，...，xn}中，得到一組時(shí)間延遲數(shù)組x={x1，X2，X3，...，xn}。

步驟4：對(duì)步驟3得到的時(shí)間延遲數(shù)組進(jìn)行修正，并對(duì)修正得到結(jié)果按照從小到大順序進(jìn)行排列，得到一組新數(shù)組x'={x1'，X2'，X3'，...，xn'}修正模型如下：

步驟5：根據(jù)本文的演變規(guī)則模型式(5)對(duì)新數(shù)組進(jìn)行迭代計(jì)算，迭代時(shí)間為t，取該時(shí)刻的迭代數(shù)組x'={x1'，X2'，X3'，...，xn'}根據(jù)像素?cái)U(kuò)散機(jī)制對(duì)置亂圖像進(jìn)行擴(kuò)散加密處理，像素?cái)U(kuò)散機(jī)制為：

可逆線性記憶元胞自動(dòng)機(jī)的演變規(guī)則為：

由于解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆過(guò)程。

四、仿真結(jié)果分析

采用因特爾3 GH z雙核CPU，4 GB的內(nèi)存，操作電腦系統(tǒng)Windows XP。借助MATLAB仿真軟件對(duì)本文加密算法的安全性能進(jìn)行驗(yàn)證。輸入一個(gè)邊長(zhǎng)L為256的正方形明文圖像dolphin，色灰度為256，加密時(shí)間為635 mso，如圖2(a)所示。仿真結(jié)果如圖2(b)和2(c)所示。從圖2中可知，經(jīng)過(guò)非線性耦合置亂后，初始圖像的信息得到了充分?jǐn)_亂。

1、灰度直方圖

圖像像素灰度直方圖能夠直接反映出圖像像素的分布狀況口從圖3(a)可知，初始圖像的灰度分布不均勻；而經(jīng)過(guò)非線性耦合置亂后的像素灰度直方圖與3(a)相同，如圖3(b)所示，表明它們的偽隨機(jī)性以及冗余性較低，安全性較低，易受到攻擊。被本文加密算法處理后的灰度直方圖發(fā)生了質(zhì)的變化，如圖3(c)所示，其像素分布均勻，表明算法能夠顯著提高密文的偽隨機(jī)性與冗余性。這一結(jié)果表明加密新算法具有較好加密質(zhì)量，算法高度全。

2、密鑰空間

高度安全的加密系統(tǒng)的密鑰空間應(yīng)是巨大的。根據(jù)圖1可知，基于可逆線性記憶CA融合時(shí)間延遲的圖像加密算法的密鑰空間由四部分所決定，分別是一維線性分段混沌映射的初值v0，控制參數(shù)p、Logistic模型產(chǎn)生的序列初始值xo以及可逆線性記憶CA迭代時(shí)間to假設(shè)計(jì)算精度達(dá)到10 -16，則算法的密鑰空間為（1016）4×1016 =1 080，該值顯著大于2100。可見，算法的密鑰空間是巨大的，足以抵抗窮舉攻擊。

3、密鑰敏感性分析

安全的加密系統(tǒng)應(yīng)有極強(qiáng)的初值密敏感性能，很好地符合“雪崩效應(yīng)”。現(xiàn)對(duì)初值v0的敏感性能進(jìn)行了測(cè)試，對(duì)v0進(jìn)行增加或減掉一個(gè)非常小的干擾值β(β=10-16)，其他的密鑰參數(shù)不變。仿真結(jié)果如圖4所示，其中，圖4(a)是未修改密鑰得到的密文；圖4(b)是修改后的密鑰(v0+β)加密得到的密文；圖4(c)是(v0-β)密鑰加密得到的密文。從圖中可知，當(dāng)初值發(fā)生了極其微小的變動(dòng)，進(jìn)行加密后的密文發(fā)生了質(zhì)的變化。所提供的方法來(lái)計(jì)算初值%的敏感系數(shù)，得到該系數(shù)為0.9993。這表明本文算法具有極強(qiáng)的密鑰敏感性能，能夠較好地滿足“雪崩效應(yīng)”。

4、相鄰兩像素點(diǎn)的相關(guān)性分析

由于圖像的相鄰像素之間一般都具有強(qiáng)烈的相關(guān)性。因此，理想的加密算法應(yīng)能夠顯著降低或者消除這個(gè)不利因素，從而提高該加密系統(tǒng)的安全性。在初始與密文圖像中隨意擇取1600對(duì)相鄰像素點(diǎn)，用相關(guān)系數(shù)rxy，來(lái)表征。rxy的計(jì)算模型如下：

式中，x與y代表的是圖像相鄰像素點(diǎn)的灰度值。

圖5是加密前后圖像里任意兩個(gè)相鄰像素點(diǎn)在y軸方向上的相關(guān)性測(cè)試結(jié)果。從圖中可以看到，明文圖像的相鄰像素值逐漸變?yōu)橐粭l對(duì)角線，如圖5(a)所示，這表明初始圖像相鄰像素間具有強(qiáng)烈的相關(guān)性，達(dá)到0. 978 3，與1非常接近；而經(jīng)過(guò)本文加密算法處理后，其像素值均勻地布滿了整個(gè)灰度平面，如圖5(b)所示，其相關(guān)性得到了有效消除，約為0.000 11，趨于0。

其他兩個(gè)方向的相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1。從表中可知，初始圖像相鄰像素間的相關(guān)性較強(qiáng)烈；而經(jīng)過(guò)本文算法處理后的密文圖像的相關(guān)性顯著降低，任意兩個(gè)相鄰的像素點(diǎn)幾乎是不相關(guān)的。

5、抗差分攻擊性能測(cè)試

優(yōu)異的加密系統(tǒng)應(yīng)該具備超強(qiáng)的抗差分攻擊能力，本文利用NPCR與UACI來(lái)評(píng)估該性能：

式(19)中，NPCR代表像素?cái)?shù)量變化率；UACI為平均強(qiáng)度變化率。

通過(guò)式(17)一式(19)來(lái)計(jì)算得到其NPCR為99. 46%，UACI為33. 57%，分別如圖6(a)與6(b)所示。圖6也顯示了在迭代計(jì)算1次時(shí)，該算法就擁有較強(qiáng)的抗差分攻擊能力。可見，提出的加密新算法具有極強(qiáng)抗差分攻擊性能。

6、時(shí)間延遲數(shù)組的自相關(guān)性測(cè)試

偽隨機(jī)數(shù)組或序列的自相關(guān)性對(duì)加密質(zhì)量有著重要影響。在利用偽隨機(jī)數(shù)組或序列對(duì)圖像加密時(shí)，數(shù)組的自相關(guān)性越低，其加密效果越好；反之，則不利于加密系統(tǒng)的安全性。自相關(guān)性應(yīng)該滿足以下關(guān)系：

式中，m為步長(zhǎng)，若f（m）隨著步長(zhǎng)m變動(dòng)時(shí)，其變化幅度很小，則顯示該數(shù)組或序列具有理想的自相關(guān)性。

為了驗(yàn)證引入時(shí)間延遲對(duì)加密算法的優(yōu)勢(shì)，截取相關(guān)間隔[ -3 000，3 000]對(duì)X軸方向的自相關(guān)性進(jìn)行仿真測(cè)試口測(cè)試結(jié)果如圖7所示，從圖中可以看到，相比于圖7(a)而言，將時(shí)間延遲引入到一維數(shù)組后，其自相關(guān)性得到了有效消除，如圖7(b)所示，當(dāng)步長(zhǎng)m不斷變化時(shí)，自相關(guān)系數(shù)變化的程度相當(dāng)小。可見，將時(shí)間延遲引入到數(shù)組或序列中，能夠使序列的自相關(guān)性達(dá)到理想狀態(tài)，具有更好的偽隨機(jī)性，從而進(jìn)一步提高加密系統(tǒng)的安全性。

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