Shannon密碼理論指出，通過統(tǒng)計(jì)分析可以破解多種密碼，但采用混亂擴(kuò)散的方法可以抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊，Chen等將二維Arnold變換推廣到三維，提出了一種3D cat映射加密算法，雖然進(jìn)行多次置亂和混淆，但一旦密鑰確定了，對(duì)應(yīng)3D cat映射的矩，陣參數(shù)就固定不變，將混沌序列進(jìn)行量化，再用量化序列進(jìn)行置亂，量化過程是一個(gè)信息損失的過程，這使得解密者無法推測(cè)混沌系統(tǒng)的初值。而提出了一種復(fù)合混沌系統(tǒng)的思想，產(chǎn)生出4個(gè)混沌序列，經(jīng)異或運(yùn)算得到新的復(fù)合序列，使得解密者無法由破譯的加密模板來推測(cè)混沌系統(tǒng)。

本文提出了一種改進(jìn)的3D cat映射，使每次變換后矩陣的參數(shù)都發(fā)生變化，并綜合運(yùn)用Logistic映射、Chebyshev映射、Chen系統(tǒng)生成的符號(hào)控制序列，對(duì)圖像文件進(jìn)行加密。

一、混沌系統(tǒng)

1、Logistic和Chebyshev系統(tǒng)

一類非常簡(jiǎn)單而又應(yīng)用廣泛的混沌系統(tǒng)是Logistic系統(tǒng)：

在0.569 945 6--μ≤4時(shí)，Logistic呈混沌狀態(tài)，μ∈(O，1)，k∈N。另一類是Chebyshev映射：

其中Xk∈(-1，1)，k∈N。

經(jīng)過簡(jiǎn)單的變量代換，式(1)等價(jià)于：

其中入∈[o，2]，Xk∈(-1，1)，入=2時(shí)為滿射。分析可知，Logistic和Chebyshev具有自噪聲、對(duì)初始值敏感等特性，這對(duì)圖像文件加密是有益的。

2、Chen系統(tǒng)

Chen系統(tǒng)表示為：

其中a，b，c是正實(shí)數(shù)，當(dāng)a=35，b=3，c∈[20，28.4]時(shí)，系統(tǒng)是混沌的。

3、3D cat映射變換

經(jīng)典Arnold變換是二維可逆混沌映射：

其離散形式為：

其中N為圖像的大小，n為自然數(shù)。首先將二維離散Arnold映射推廣為：

其中a，b為正整數(shù)，其中的映射矩陣也是一個(gè)保面積的可逆變換。然后通過上述二維映射來構(gòu)造3個(gè)三維映射：

其中ax，ay，az，bx，by，bz均為正整數(shù)．記上面3個(gè)矩陣分別為A1，A2, A3，可構(gòu)造A =A1xA2 xA3，則：

稱上述變換為3D cat映射，由于detA=1，故3D cat映射為保面積變換。取ax=ay=az=bx=by=bz=1，則：

對(duì)應(yīng)Lyapunov指數(shù)為σ1=--7.184 2，σ2=0.243 0，σ3=0,572 8。而Arnold變換對(duì)應(yīng)LyapunoV指數(shù)為σ1=2,618 0，σ2=0.382 0。Ly8punov指數(shù)越大，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的混沌性越強(qiáng)，故3D cat映射(6)要比Arnold映射(5)混沌性強(qiáng)，圖1是Amold與3D cat映射對(duì)256×256的lena圖像加密次數(shù)效果圖。

采用向德生等計(jì)算兩變換的置亂度算法，任一像素與四周相鄰像素的像素值之差為：

其中，I（x，y）為圖像I在（x，y)處的灰度值，（xi，yi)為(x,y)上下左右4個(gè)相鄰像素，除去圖像邊緣上的像素外，相加D(x，y)平均即得到整個(gè)圖像的平均相鄰灰度差為：

定義灰度值置亂度為：

其中M，N為圖像的行、列數(shù)，ED，ED'為分別表示置亂前、后圖像的平均相鄰灰度差，這樣，ED∈（-1,1）值范圍．若置亂度小于O，表示置亂效果比原圖還差；若置亂度大于0，則表示灰度置亂效果比原圖要好，而且越趨近于1越好。

表1列出了兩變換對(duì)不同大小圖像的置亂度η（以256級(jí)灰度值，置亂一次為例），表2列出兩變換對(duì)不同大小圖像周期T的比較，表3列出了兩變換的加密次數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系（以cpu:1.41GHz，內(nèi)存：5 12為例）。

顯然，從上面各種角度比較兩種變換，3D cat映射比Arnold變換有更好的效果。

二、置亂算法

1、算法設(shè)計(jì)

本文密鑰為x0，Yo，n，這里xo，yo為混沌系統(tǒng)迭代初始值，n為加密次數(shù)，首先由Chen系統(tǒng)(4)產(chǎn)生3D cat映射矩陣A的參數(shù)，用該映射對(duì)圖像進(jìn)行位置置亂。Chen系統(tǒng)的初始值為：

其中1≤i≤n為置亂次數(shù)．這樣每置亂一次，對(duì)應(yīng)矩陣A的參數(shù)也是變化的，與原來的3D cat映射參數(shù)固定相比，增加了矩陣的不確定性，提高了破譯難度。

其次由密鑰xo通過式(1)生成混沌序列，并轉(zhuǎn)化為符號(hào)控制序列：

再由密鑰yo通過式(2)或式(3)生成替換序列{yk}，我們按以下規(guī)則生成{yk}：

由于此時(shí){yk}并不是均勻分布的，對(duì)其作一反余弦變換，即：

則{yk'}為均勻分布的，將其轉(zhuǎn)化為2k值序列，由此序列再與原圖像按位異或運(yùn)算，便得到加密圖像。由于式(8)并非是由一個(gè)混沌系統(tǒng)生成，而是兩個(gè)系統(tǒng)復(fù)合得到的，破譯者很難根據(jù)混沌序列的特點(diǎn)來估計(jì)該系統(tǒng)。

2、算法步驟

加密步驟如下：

1)輸入圖像，記圖像矩陣為I，由xo通過式(1)生成混沌，并轉(zhuǎn)化為符號(hào)控制序列{xK}；

2)由Y0作初值，按式(8)規(guī)則生成置亂序列，并轉(zhuǎn)化為2K值序列{yk}，本文取k=8；

3)由式(7)生成zo作為Chen系統(tǒng)(4)的初值，生成3D cat映射的矩陣系數(shù)，進(jìn)而與圖像作置亂，得到II；

4)由II再與{yk}進(jìn)行按位異或運(yùn)算得到III;

5)重復(fù)步驟3）和4）n次，得到最終加密圖像。

解密過程為上述過程的逆過程，一般對(duì)于混沌序列我們不取它的初始部分，會(huì)得到更好的加密效果。

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用本文方法對(duì)圖像進(jìn)行加密，圖1是對(duì)256×256的lena灰度圖像的加密結(jié)果，所取密鑰為雙精度xo=0.123 456 789 012 345 6，y0=0.123 456012 345 6789，n=5，加密及解密結(jié)果見圖2，其中，(a)為原圖，(b)為加密圖，(c)為正確密鑰的解密圖。(d)為錯(cuò)誤密鑰的解密圖，所取密鑰為xo= 0.1234567890123455，yo=0.123456012345 6789，n=5?？梢?0-i6的差別便不能正確解密，密鑰空間為：1016×1016×28=2.560 0×1034。

圖3是與圖2相對(duì)應(yīng)圖像的灰度直方圖（橫軸為灰度值，縱軸為像素?cái)?shù)），加密圖像和錯(cuò)誤密鑰解密圖像的直方圖分布均勻，與原圖像沒有任何相似之處，有效地防止了統(tǒng)計(jì)攻擊。

表4列出Chen等m算法與本文算法所生成加密圖像與原圖相關(guān)系數(shù)P1，p2的比較，其中Po為原圖的自相關(guān)系數(shù)，可見本文算法更能有效地破壞圖像像素間的相關(guān)性。

圖4是對(duì)加密圖像進(jìn)行的攻擊試驗(yàn)，其中(a)是剪切密圖，(b)是對(duì)(a)的解密圖，(c)，(d)分別是對(duì)添加20%的椒鹽噪聲、2%的高斯噪聲的解密圖，(e)是對(duì)加密圖進(jìn)行jpeg壓縮，壓縮因子為50%。由圖4可知，算法對(duì)有損壓縮和信道噪聲產(chǎn)生的失真具有良好的抵抗能力。

admin

收藏 海報(bào)分享