混沌作為一種特有非線性現(xiàn)象，具有良好的偽隨機(jī)特性、軌道的不可預(yù)測性、對初始狀態(tài)及結(jié)構(gòu)參數(shù)的極端敏感性、迭代的不重復(fù)性等一系列優(yōu)良特性，由于越來越廣泛使用的圖像、多媒體信息，數(shù)據(jù)量大，冗余度高，已給傳統(tǒng)密碼提出了挑戰(zhàn)，混沌信號天然的隨機(jī)性和隱蔽性非常適用于保密通信。

眾所周知，—個好的加密算法應(yīng)該對密鑰極其敏感，密鑰空間足夠大，以抵御窮舉攻擊。雖然一維，二維混沌映射具有形式簡單、運(yùn)行效宰高等優(yōu)點(diǎn)。但低維混沌存在密鑰空間小、安全性不高的缺點(diǎn)。高維超混沌具有更高的復(fù)雜性、隨機(jī)性和更好的不可預(yù)測性，能更有效地抵御相空間重構(gòu)等破譯方法的進(jìn)攻，保密性強(qiáng)，算法實現(xiàn)簡單，密鑰空間大，與混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)有更多正的李雅昔諾夫指教、更加復(fù)?雜和難以預(yù)測的動力學(xué)特性。正的李稚普諾夫指數(shù)越多，系統(tǒng)軌道不穩(wěn)定方向越多，系統(tǒng)隨機(jī)性越強(qiáng)，其抗蘞譯能力越高。

本文首先構(gòu)造了一個新超混沌系統(tǒng)，并提出了基于該超混沌映射的圖像加密新方案，四維映射的參數(shù)和系統(tǒng)變量的增大使密鑰也隨之增加，從而可有效地抵御窮舉攻擊，加密圖像像素值分布隨機(jī)，具有較高的安全性。

一、新超混沌系統(tǒng)

新的超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下：

要產(chǎn)生超混沌吸引子，必須滿足以下幾個條件：首先動力學(xué)方程應(yīng)該有耗散性，方程的維投不小于4，系統(tǒng)至少有兩個增強(qiáng)不穩(wěn)定因素的方程，同時這兩個方程中至少有一個含非線性項，且平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的．取系統(tǒng)參數(shù)a=10，b=45，c=2.5，d=4，r為后來引進(jìn)的參敫，這里設(shè)r=5。

1、基本動力學(xué)分析

（1）耗散性和吸引子的存在性

由于：

系統(tǒng)(1)是耗散的，且以如下指數(shù)形式收斂：

即體積元v0在t時刻收縮為體積元v0e-(a+c)t。這意味著，當(dāng)t→oo時，包含系統(tǒng)軌跡的每個體積元以指數(shù)率e-a-c收縮到零。因此，所有系統(tǒng)軌跡最終會被限制在一個體積為零的集合上，且它漸進(jìn)運(yùn)動固定在一個吸引子上。

（2）平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

令式(1)的右邊等于0：

顯然系統(tǒng)(1)存在一個平衡點(diǎn)s0=(0，0，0)。在平衡點(diǎn)so，對系統(tǒng)(1)進(jìn)行線性化，得其jacobian矩陣：

為了求平衡點(diǎn)so相應(yīng)的特征根，令det(Jo-λI) =O，得相應(yīng)的特征根為λ1o=-26.7226，λ20=16.6099，λ30=0.1126，λ40 =-2.5000，4個特征值皆為實數(shù)，這里λ20，λ30為正實根，λ1o ,λ40為負(fù)實根。因此，平衡點(diǎn)so為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

2、 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

當(dāng)參數(shù)為a=10，b=45，c=2.5，d=4，r=5時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)λ1=1.7365，λ2=0.0466，λ3=-0.0049，λ4=-14.2675，系統(tǒng)有兩個正的Lyapunov指數(shù)，式(1)為超混沌系統(tǒng)。此超混沌系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為：

由此可見，這個新系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)是分?jǐn)?shù)維數(shù)，從而驗證了該系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)。

3、混沌吸引子

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=1O，b=45，c=2.5，d=4，r=5時，系統(tǒng)(1)存在一個典型的混沌吸引子。采用四階Runge-Kutta離散化算法，迭代10000次，取后面9900個數(shù)據(jù)得到混沌吸引子相圖，如圖1所示。由圖1可知，系統(tǒng)的混沌吸引子軌線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性，對應(yīng)吸引子在各平面的投影。

該四維超混沌系統(tǒng)生成的混沌序列有如下特點(diǎn)：①是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較低維系統(tǒng)復(fù)雜，系統(tǒng)變量的實數(shù)值序列更不可預(yù)測；②是處理系統(tǒng)輸出的實數(shù)值混沌序列，可產(chǎn)生單變量或多變量組合的加密混沌序列，使加密序列的設(shè)計非常靈活；③是系統(tǒng)的4個初始值都可以作為生成加密混沌序列的種子密鑰，若設(shè)計過程中再加入部分控制變量，加密算法的密鑰空間將遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于低維混沌系統(tǒng)。

二、加密算法設(shè)計

1、像素位置置亂

為了擾亂圖像相鄰像素間高度相關(guān)性，利用置亂矩陣來置亂原圖像像素位置。這樣，原圖像的全部像素將被隨機(jī)均勻地置亂到密文圖像的整個像素空間。

設(shè)原始圖像大小為MXN，P(i，j)，i=0，1，...，M-1，j=o，1，…，N-1，表示圖像的像素灰度值。采用如下方法對圖像像素位置進(jìn)行置亂：

step1給定初始值超混沌系統(tǒng)(1)在四階龍格一庫塔法迭代No次生成4個混沌序列{x1(k)，x2（k），X3 (k)，x4（k）|k=O，1，2，...}，并舍棄每個序列的前10000個值，將后面的值作為混沌序列。

Step2對混沌序列x1（k），X3(k)進(jìn)行如下預(yù)處理：

Step3將Step2中產(chǎn)生的混沌序列排序，組成兩個新序列，原混沌序列中的兩個值在新序列中位置編號組成的序列，將這兩個序列作為圖像數(shù)據(jù)矩陣的行序列和列序列，從而實現(xiàn)對原圖像位置的置亂。

置亂破壞了原圖像相鄰像素點(diǎn)相關(guān)性，但是圖像的灰度直方圖并沒改變，因而安全性不夠高，很難抵御已知明文攻擊，需要對預(yù)處理后的圖像做進(jìn)一步加密。

2、圖像像素值擴(kuò)散

使用超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列對置亂后圖像進(jìn)行加密，對于每個像素點(diǎn)構(gòu)造一個實數(shù)序列值的密鑰。這種改變基于超混沌系統(tǒng)的像素灰度值的步驟如下：

Step1由超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的4個混沌序列組成正整數(shù)，將該正整數(shù)對256取模，得到1字節(jié)的加密密鑰來加密圖像，公式如下：

式中，abs表示取矗絕對值，floor表示取小于或等于xi的整數(shù)。mod表示取余運(yùn)算。

Step2由下面公式產(chǎn)生x0：

式中，x0∈[Q，3]。根據(jù)函選擇加密混沌序列。若xo=o，用（x1，x2，x3）進(jìn)行異或加密；若x0=1，用（x2，x3，X4）進(jìn)行異或加密；若x0=2，用（x1，x2，x4）進(jìn)行異或加密；若x0=3，用（x1，X3，x4）進(jìn)行異或加密。

Step3每次對圖像中3個像素值進(jìn)行異或運(yùn)算，再與前一個密文圖像進(jìn)行異或，直到完成所有的像素點(diǎn)加密為止。初始值C(0)=100，計算公式如下：

式中，i=0，2，”．，[(M* N)/3]-1，P(i)和C(i)分別代表了置亂后的圖像和密文圖像像素灰度值。+表示異或運(yùn)算。

重復(fù)以上步驟，直至每個像素點(diǎn)都進(jìn)行了像素值替代變換，最終得到置亂和替代變換后的加密圖像。

此方案中加密序列的選取與新超混沌系統(tǒng)相關(guān)，這樣混沌序列的產(chǎn)生依賴于密鑰，混沌序列的選擇對混沌系統(tǒng)也是敏感的，這就能有效地增強(qiáng)算法的安全性。從替代變換算法看，由于對圖像的每一個像素點(diǎn)都采用了不同的替代加密密鑰，因此符合香農(nóng)的“一次一密”加密原則，故算法具有抵抗強(qiáng)力攻擊的安全性。

解密是加密的逆過程。加密過程是先置亂后替換。解密是先對密文圖像像素值反替代，然后對反替代后圖像像素進(jìn)行位置反置亂，即可得到解密圖像。

三、實驗結(jié)果及分析

選用大小為256×256、灰度為256色的位Lena．bmp(圖2(a))作為實驗圖片。一個好的加密算法應(yīng)該能夠抵御各種已知攻擊。同時列加密密鑰敏感，密鑰空問足夠大，以抵御窮舉攻擊。下面對加密算法進(jìn)行安全性分析。

1、灰度直方圖分析

從網(wǎng)2(a)-圖2(f)中可以看出，置亂后圖像的灰度直方 圖沒發(fā)生改變，即圖2(d)和圖2(e)相同。經(jīng)過本文加密，灰度直方圖發(fā)生顯著變化，加密前像素值分布不均勻，加密后像素點(diǎn)均勻分布在[0,255]的區(qū)間中?？芍?，本算法具有較強(qiáng)的抵御統(tǒng)計分析攻擊能力。

2、密鑰空間分析和執(zhí)行效率分析

在本算法中，超混沌映射的4個初始值和參數(shù)r均可用來作為密鑰。若設(shè)置精度為10-14，密鑰空間超過1070。同時超混沌系統(tǒng)初始迭代次數(shù)也可作為密鑰，這樣街鑰空間就足以抵御各種攻擊，在硬件環(huán)境為matlab7.4仿真平臺，AMDArhlon(tnl)64 X2 Dual Core Proc~sor 5600的CPU.I.75G內(nèi)存。Windows XP操作系統(tǒng)平臺中實現(xiàn)時，加密256×256網(wǎng)像所用的時間約0. 82s。表明時問開銷小。

3、密鑰敏感性實驗

密鑰敏感性分析也就是密鑰的激小變化將最終導(dǎo)致密文的顯著變化，該特性有助于抵抗唯明文攻擊?；煦缂用艿陌踩栽谟谒某跏贾得舾行?，即攻擊借用與初始值很接近的一個數(shù)值進(jìn)行破解，也不能恢復(fù)出原始的圖像。

圖3為解密仿真的試驗結(jié)果。圖3(a)-圖3(b)為初值敏感性交輸，其中初始值工x1(0)=1.2,x2(0)=0.3,X3(0)=0.4,x5(0）=0.5，迭代次數(shù)N=2000。圖3(a)是正確解密后的圖像，圖3(b)是其余初始值不變x1(0)=1.200000000001時的解密圖像，正確解密后的圖3(a)與原圖像完全相同，而初始密鑰細(xì)微的差別都不能正確解密出原始圖像。由此可知奉加密算法對密鑰非常敏感，加密效果良好，具有很強(qiáng)的初值敏感性。

4、相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)性分析

通過比較明文和密文圖像榴鄰像素的相關(guān)性，可以考察算法對圖像置亂的程度。本文從明文圖像和密文圖像中隨機(jī)選取3000對水平相鄰像素對、垂直栩鄰像素對和對角相鄰像索對，利用以下公式進(jìn)行計算：

式中，x和y表示隨機(jī)選取的這3000對相鄰像索的灰度值，測試結(jié)果如表1所列，圖4顯示了原始圖像和加密后圖像相鄰像索點(diǎn)間的相關(guān)性。

可以看出，明文圖像相鄰像素高度相關(guān)的，相關(guān)系數(shù)接近1。而加密圖像的相鄰像素相關(guān)系數(shù)接近0。相鄰像素問相關(guān)性明顯減小。此時明文的統(tǒng)計特性已破擴(kuò)散到隨機(jī)的密文中，可以有效地抵御統(tǒng)計攻擊。

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