利用變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換和雙隨機(jī)相位編碼對(duì)圖像文件加密的方法是對(duì)要加密的圖像分別進(jìn)行兩次變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換和兩次隨機(jī)相位函數(shù)調(diào)制，使加密圖像的密鑰由原來(lái)兩重增加到六重，利用全息元件，可以用光學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)這種加密和解密變換。

一、變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換

分?jǐn)?shù)傅里葉變換是傳統(tǒng)的傅里葉變換在分?jǐn)?shù)級(jí)次上的推廣，與傅里葉變換有著緊密的聯(lián)系，又具有許多不同于傅里葉變換的特殊性質(zhì)，如果設(shè)輸入函數(shù)為f(x)，則其P級(jí)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)學(xué)定義為：

式中c為常量，φ=p.π/2，P為實(shí)值分?jǐn)?shù)級(jí)次。

1993年分?jǐn)?shù)傅里葉變換被引入光學(xué)領(lǐng)域后，Lohmann給出的光學(xué)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義為：

從式(2)可看出，F(xiàn)p(u)不但與P有關(guān)，而且與fe有關(guān)，Lohann把fe稱作標(biāo)準(zhǔn)焦距，λ為入射光波長(zhǎng)。

Lohmann還給出了兩種光學(xué)分?jǐn)?shù)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)單元，如圖1(a)裝置中的分?jǐn)?shù)變換由兩次菲涅爾衍射和一次透鏡相位變換完成，(b)裝置的分?jǐn)?shù)變換由兩次相位變換及一次菲涅爾衍射完成．從中可以看出，光學(xué)分?jǐn)?shù)傅里葉變換可以看作透鏡相位變換和菲涅爾衍射組合得到的結(jié)果。

對(duì)二維圖像函數(shù)，當(dāng)沿x，y方向分別實(shí)施不同級(jí)次的一維分?jǐn)?shù)傅里葉變換時(shí)，對(duì)應(yīng)變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義為：

式中φx=Pxπ/2，φy=Pyπ/2，Px和Py分別是x和y方向上的變換級(jí)次。這種變換通常是利用兩個(gè)互相垂直、焦距不同的柱透鏡的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如圖2。與普通的分?jǐn)?shù)傅里葉變換相比，由于這種變換在兩個(gè)方向上進(jìn)行不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，因此可以存兩個(gè)方向上實(shí)現(xiàn)不同的操作。

二、光學(xué)圖像六重密鑰加密方法

本文提出的六重密鑰光學(xué)圖像文件加密方法，是用變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換代替?zhèn)鹘y(tǒng)的傅里葉變換，兩次變換對(duì)應(yīng)有四個(gè)變換級(jí)次的密鑰，兩個(gè)隨機(jī)相位分別在空間域和分?jǐn)?shù)域進(jìn)行加密，對(duì)應(yīng)有兩個(gè)相位密鑰，一共有六重加密密鑰。

實(shí)現(xiàn)加密的光學(xué)系統(tǒng)如圖3。f(x，y)表示待加密的圖像，兩個(gè)隨機(jī)相位函數(shù)M=exp[im (x，y)]和N=exp[in(u，v)]分別位于輸入面和頻譜面處。其中，m(x，y)和n（u，v）分別代表均勻分布在[0，2π]的獨(dú)立白噪音，這里x，y代表空間域坐標(biāo)，u，v代表頻域坐標(biāo)。L1和L2表示在互相垂直方向焦距不同的變形柱面鏡。這種變形柱面鏡可以用全息的方法來(lái)記錄，將兩個(gè)互相垂直且焦距不等的柱透鏡合成在一個(gè)全息元件上，并且這種全息元件兩個(gè)正交方向上的焦距可以根據(jù)需要加以改變，用它可以方便地實(shí)現(xiàn)變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換。

輸入圖像f(x，y)置于輸入面上，用平行光垂直照射，f(x，y)被M=exp[im（x，y)]調(diào)制加密，經(jīng)過(guò)柱面透鏡組合L1變換，在頻譜面上得到兩個(gè)互相垂直方向上變換階分別為Px1、Py1的變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換：

式(4)與位于同一處的隨機(jī)相位模板N= exp[in(u，v)]相乘后，又經(jīng)柱面透鏡組合L2變換，在輸出面上得到互相垂直方向上變換階分別為Px2、Py2的變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換：

這樣，原圖像經(jīng)過(guò)兩次變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換和兩個(gè)不同隨機(jī)相位函數(shù)調(diào)制完成了加密。

為了恢復(fù)原圖像，加密圖像需先進(jìn)行級(jí)次密鑰分別為P1=-Px2、P2 =-Py2的變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換，然后用相位密鑰P3=N*=exp[-in(u，v)]進(jìn)行濾波。

接著進(jìn)行級(jí)次密鑰為p4=-Px，P5=-Py的變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換：

如果輸入函數(shù)為復(fù)函數(shù)，要完全恢復(fù)需用相位密鑰P6=exp[-im (x，y)]消除隨機(jī)相位調(diào)制，由此，完成了加密圖像的解密。四個(gè)級(jí)次密鑰和兩個(gè)相位密鑰必須正確才能恢復(fù)原圖像，這樣的六重解密密鑰，提高了圖像的保密性。解密所用的光學(xué)系統(tǒng)與加密光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相似。如果原圖像是正的實(shí)函數(shù)，則用強(qiáng)度探測(cè)器探測(cè)時(shí)，相位項(xiàng)exp[im(x，y)]自動(dòng)消除，當(dāng)Px1=Py1、Px2=Py2時(shí)，就是四重密鑰的分?jǐn)?shù)傅里葉變換雙隨機(jī)相位編碼，當(dāng)Px1=Py1 =1、Px2=Py2=-1時(shí)，就變成了傳統(tǒng)的兩重密鑰的傅里葉變換雙隨機(jī)相位編碼。

三、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)

進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)，變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)值算法是十分關(guān)鍵的，目前，出現(xiàn)的一些算法特點(diǎn)各異，表達(dá)差異很大。本文采用解啁啾方法，用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)值計(jì)算．在此基礎(chǔ)上，對(duì)變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換雙隨機(jī)相位編碼圖像加密和解密進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬。輸入圖像為128×128像素的灰度圖像，加密所用四個(gè)變換級(jí)次分別為：Px1=0.38，Py1=l.86，Px2=1.23，Py2=0.58，兩個(gè)隨機(jī)相位函數(shù)由隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生。由于輸入圖像選取的是實(shí)值圖像，所以模擬解密圖像不受exp[im(x，y)]的影響。

圖4中，(a)為原始圖像，(b)為六重加密后的圖像，(c)為用四個(gè)正確的級(jí)次密鑰P1=-Px2 =-1.23，P2=-Py2=-0.58，P4=-Px1=-0.38，P5=-Py1=1.86，但相位函數(shù)不匹配，即P3≠N*時(shí)解密得到的結(jié)果，可見(jiàn)，雖然四個(gè)級(jí)次密鑰都正確，但相位密鑰不匹配，不能得到原來(lái)的圖像；(d)為Pl、P2、P3三個(gè)密鑰都正確，但P4、P5和正確的密鑰相差0.01時(shí)得到的解密結(jié)果，這時(shí)從圖中幾乎看不出原圖像，說(shuō)明級(jí)次密鑰和相位密鑰一樣具有很高的敏感性，只有當(dāng)四個(gè)變換級(jí)次密鑰和隨機(jī)相位密鑰完全都正確時(shí)，才能恢復(fù)原來(lái)的圖像，如(e)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證這種加密方法的可靠性，又對(duì)其它圖像進(jìn)行了加密和解密計(jì)算，并用相關(guān)運(yùn)算對(duì)解密圖像和原始圖像進(jìn)行了比較，在圖5中，(a)和(e)是原始圖像，(b)和(f)分別是對(duì)加密圖像正確解密后得到的恢復(fù)圖像，可以看出，恢復(fù)圖像和原始圖像幾乎完全一樣，二者的最大灰度差值分別為2. 6432×10-12和3.2117×10-12；(C)和(d)分別是原始圖像(a)的自相關(guān)及與(b)之間的互相關(guān)，二者幾乎也完全一樣，最大相關(guān)峰值相差為3.5763×10-7個(gè)灰度單位；(g)和(h)分別是(e)的自相關(guān)及與(f)之間的互相關(guān)，二者的最大相關(guān)峰值相差為4.1723×10-7個(gè)灰度單位。

用隨機(jī)相位函數(shù)分別在空域和頻域?qū)D像信息進(jìn)行調(diào)制加密，對(duì)經(jīng)不同隨機(jī)相位調(diào)制的圖像實(shí)施不同級(jí)次的變形分?jǐn)?shù)傅里葉變換，加密密鑰增加到了六重，為了恢復(fù)原始圖像，必需知道四個(gè)變換級(jí)次和兩個(gè)隨機(jī)相位函數(shù)，這種加密方法提高了圖像的保密性能，計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果證明了這種方法的正確性和可行性。

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