針對低維混沌系統(tǒng)有可能退化為周期問題，以及高維混沌系統(tǒng)計(jì)算量大的缺陷，提出基于雙混沌互擾系統(tǒng)的圖像加密算法。通過兩個(gè)簡單的Logistic映射間的互擾，構(gòu)造一個(gè)雙混沌互擾系統(tǒng)。雙混沌互擾系統(tǒng)的最大特點(diǎn)是擾動項(xiàng)同時(shí)包括常數(shù)擾動項(xiàng)和隨機(jī)擾動項(xiàng)，不僅保證了系統(tǒng)必要的復(fù)雜性，而且增大了系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍。

一、雙混沌系統(tǒng)互擾方案及混沌實(shí)值序列生成

在生態(tài)學(xué)中一些非常簡單的確定性的數(shù)學(xué)模型卻能產(chǎn)生看似隨機(jī)的行為。如：

稱之為人口方程，即著名的Logistic模型。其中xn∈（0，1），當(dāng)控制參數(shù)3 569946--≤μ≤4時(shí)，Logistic映射表現(xiàn)出混沌的特性。

1、雙混沌系統(tǒng)互擾方案

從兩個(gè)簡單的Logistic映射混沌系統(tǒng)模型出發(fā)，設(shè)計(jì)混沌系統(tǒng)互擾方案，迭代映射如下：

其中：mod為求余運(yùn)算；x0、y0為混沌的初始值；cr1、cr2為常數(shù)，稱之為常數(shù)擾動項(xiàng)；sr1(n+1)、sr2(n+1)為隨機(jī)擾動項(xiàng)；μ1、μ2是混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)。

其中：floor是向下取整運(yùn)算：mean是序列平均值：m1、n1、m2、n2為隨機(jī)擾動項(xiàng)的控制參數(shù)。隨機(jī)擾動項(xiàng)的隨機(jī)性由混沌序列本身決定，即將混沌序列值與混沌序列的平均值相比較。

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)cr1=e0.3，cr2=e0.4，m1=m2=2，n1=n2=8時(shí)，初值x0=0.1，y0=0.2。Logistic映射是在初始值x0∈(0，1)，控制參數(shù)3,569946--≤μ≤4條件下才出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，但在本文的雙混沌互擾方案中，對初始值的取值范圍沒有任何限制，混沌系統(tǒng)互擾映射在控制參數(shù)μ1;1，μ2;2時(shí)各自都出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，x，y∈（0，2），如圖1的分岔圖所示。

通過混沌系統(tǒng)間的擾動后，雙混沌互擾系統(tǒng)變得更復(fù)雜，更加不可預(yù)測。與常用的超混沌系統(tǒng)和高維混沌系統(tǒng)相比較，本文構(gòu)造的雙混沌互擾系統(tǒng)具有以下優(yōu)勢：

1）構(gòu)造混沌互擾系統(tǒng)時(shí)，可以任意選擇相同或不同的多個(gè)混沌系統(tǒng)（不只限于兩個(gè)混沌系統(tǒng)），構(gòu)造方法靈活，且易于實(shí)現(xiàn)；

2）隨機(jī)擾動項(xiàng)的隨機(jī)性可以人為地控制，在不知道隨機(jī)擾動項(xiàng)的隨機(jī)性如何決定的情況下，對破譯者來說亦增加了難度；

3）增加了系統(tǒng)參數(shù)的個(gè)數(shù)，擴(kuò)展了初始條件的取值范圍，進(jìn)一步增大了密鑰空間，安全性得到提高。

2、混沌實(shí)值序列的產(chǎn)生

由兩個(gè)簡單的Logistic映射混沌系統(tǒng)經(jīng)過常數(shù)擾動和隨機(jī)擾動后，得到兩個(gè)混沌序列分別為：{x:x1，x2，x3，…，xn}，{y:y1，y2，y3，…，yn}，其中n為序列的長度。 定義1，用于產(chǎn)生二值序列的混沌序列z為：

式中j=1，2 3，…。

最終混沌序列提由Logistic映射互擾后得到的混度序{x:x1，x2，x3，…，xn}，{y:y1，y2，y3，…，yn}交叉組合而成，為了消除初始值對混沌序列過渡部分的影響，選取迭代1000次后的序列值構(gòu)成最終混沌序列z。

當(dāng)參數(shù)為μ1=60，μ2=70，cr1=e0.3，cr2=e0.4，m1=m2=2，n1=n2=8時(shí)，初值x0=0.1，y0=0.2，系統(tǒng)參數(shù)不變，只是初始值x0或y0發(fā)生0.000001的微小變化，得到的混沌序列的差異相當(dāng)明顯。實(shí)驗(yàn)中選取了混沌序列的前40個(gè)序列值對比，如圖2所示。

圖2中，實(shí)線表示的是初始值未發(fā)生變化的混沌序列值，虛線表示的是初始值發(fā)生0.000001微小變化后的混沌序列值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明了由雙混沌互擾系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列對初始值具有十分的敏感性。

二、混沌二值序列的產(chǎn)生

由混沌實(shí)值序列轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制序列的方法有多種。有將混沌序列值與混沌序列平均值進(jìn)行大小比較，然后量化成0，1二值序列。有用混沌系統(tǒng)生成兩個(gè)混沌序列，比較兩個(gè)序列對應(yīng)項(xiàng)的大小，然后量化成0，1二值序列。有基于一個(gè)四維混沌系統(tǒng)生成四個(gè)混沌序列，將混沌序列劃分小區(qū)間，接著在小區(qū)間內(nèi)取平均值后與0比較大小，然后量化成二值序列。 本文采取的二值量化算法如下：

1）設(shè)定雙混沌互擾系統(tǒng)的初始值小粥，經(jīng)過系統(tǒng)迭代映射產(chǎn)生混沌序列z；

2）提取混沌序列神每個(gè)混沌實(shí)值小數(shù)部分的2、4、6，組成一個(gè)新的3位整數(shù)，比如：0.372 685189—765，由這些整數(shù)組成新的整數(shù)序列I；

3）將整數(shù)序列對256求余預(yù)算，即I'= mod(I，256)，比如765—253，這樣就得到一個(gè)新的整數(shù)序列I'，且序列I'每個(gè)值都在區(qū)間[0，255]；

4）將得到的整數(shù)序列I'換成二進(jìn)制序列{I':253→11111101}，這樣就完成了由混沌序列考z值序列s的轉(zhuǎn)換； 所得到的整數(shù)序列，I'的直方圖如圖3所示。

可以看出，整數(shù)序列I'分布不夠均勻，區(qū)間[225，255]的數(shù)明顯偏少，這將影響圖像加密效果。因此對量化算法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)的量化算法如下：

1)設(shè)定雙混沌互擾系統(tǒng)的初始值孫J6，經(jīng)過系統(tǒng)迭代映射產(chǎn)生混沌序列z；

2)提取混沌序列神每個(gè)混沌實(shí)值小數(shù)部分的2、4、6位，組成一個(gè)新的3位整數(shù)，比如：0.372685189—765，由這些整數(shù)組成新的整數(shù)序列I1；提取混沌序列神每個(gè)混沌實(shí)值小數(shù)部分的3、5、7位，組成一個(gè)新的3整數(shù)，比如：0.372685189—281，由這些整數(shù)組成新的整數(shù)序列I2；

3)將整數(shù)序列I1、I2分別對256求余預(yù)算，即I1'=mod(I'，256)，比如765—253;，I'=mod(I2，256)，比如281—25。這樣就得到兩個(gè)新的整數(shù)序列I1，I2且序列I1，I2的每 個(gè)值都在區(qū)間[0，255]內(nèi)；

4)將得到的整數(shù)序列I1'、I2'的每個(gè)整數(shù)都轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，例如{I1'：253—11111101}，{I2'：25—00011001}。分別提取二進(jìn)制序列后面4位交叉排列，組成新的二進(jìn)制序列S那么就有{S:1101 8 1001—11100011}，以及與二值序列對應(yīng)的整數(shù)序列I； 改進(jìn)后得到的二值序列轉(zhuǎn)換成整數(shù)序列I的直方圖如圖4所示。

可以看出，改進(jìn)后得到的整數(shù)序列I更加均勻。

三、加密流程及仿真試驗(yàn)

1、加密流程

1)設(shè)定雙混沌互擾系統(tǒng)的參數(shù)及初始值x0，y0，經(jīng)過系統(tǒng)迭代映射產(chǎn)生混沌序列z。

2)置換：由前面的方法對混沌序列量化得到混沌二值序列S同時(shí)將明文圖像轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，然后從混沌序列S中每次取8個(gè)數(shù)與明文圖像像素二進(jìn)制值“異或”運(yùn)算，最后轉(zhuǎn)
換成十進(jìn)制整數(shù)，這樣就得到置換后的密文圖像。

3)置亂混沌序列從小到大排列成Z'，z'與z'排列前后之間的位置就形成了一組對應(yīng)關(guān)系。將置換后的密文圖像按照z'與z'的位置對應(yīng)關(guān)系重排，得到最終密文圖像。

解密就是加密的逆運(yùn)算，只有正確的密鑰才能得到正確的恢復(fù)圖像。

2、仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)上節(jié)的加密流程用Matlab進(jìn)行圖像加解密實(shí)驗(yàn)仿真。試驗(yàn)中選取標(biāo)準(zhǔn)的Lena圖像作為待加密的明文圖像，如圖6(a)所示，其灰度直方圖如圖6(e)所示。

設(shè)定參數(shù)μ1=60，μ2=70，cr1=e0.3，cr2=e0.4，m1=m2=2，n1=n2=8時(shí)初始值x=0.1，y=0.2。按照的加密流程對明文圖像加密，得到最終的密文圖像如圖6(b)所示，圖6(f)是密文圖像灰度直方圖。通過原始圖像與加密圖像的灰度直方圖對比可以看出，加密圖像的像素灰度直方圖非常均勻，說明二值序列能有效地掩蓋明文信息。

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