基于光學(xué)4f級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，采用前向迭代算法和通過產(chǎn)生多個(gè)隨機(jī)相位板對(duì)圖像進(jìn)行了加密和解密。這有利于降低實(shí)際制作相位板的工藝難度和技術(shù)要求，有利于降低相位板制作過程中的誤差對(duì)解密圖像質(zhì)量的影響。由于增加了隨機(jī)相位板的數(shù)目，所以系統(tǒng)的安全性能也得到了進(jìn)一步的提高。

一、前向迭代雙隨機(jī)相位板圖像文件加密

前向迭代雙隨機(jī)相位板圖像文件加密系統(tǒng)如圖1所示。

在第一次迭代開始前，與兩個(gè)統(tǒng)計(jì)無關(guān)的隨機(jī)相位板e(cuò)xp[iφ1,0(x，y)]和exp[ iφ2,0(u，v)]分別位于輸入面和頻譜面上，φ1,0(x，y)和φ2,0(u，v)在0～2π之間取值。在輸入面上用隨機(jī)相位板e(cuò)xp[iφ1,0(x，y)]對(duì)原振幅圖像g(x，y)進(jìn)行編碼，得到的編碼圖像為：

在頻譜面上用另一個(gè)隨機(jī)相位板e(cuò)xp[ iφ2,0(u，v)]對(duì)編碼圖像的頻譜Go(u，v)=FT{g0(x，y)}進(jìn)行編碼，在輸出面上得到的輸出圖像f1(x，y)可表示為：

取其相位部分exp[iφ1,0(x，y)]作為加密圖像（相息圖）。式中：（x，y）表示空域坐標(biāo)；（u，v）表示頻域坐標(biāo)；FI’和IFT分別表示Fourier變換和逆Fourier變換。由于前向迭代雙隨機(jī)相位板圖像加密是通過迭代相位恢復(fù)算法求出加密圖像（相息圖）及頻譜面上的密鑰的，因此在迭代每一循環(huán)的過程中，需要分別在輸入面、頻譜面和輸出面上施加不同的約束條件。在輸出面上只保留相位分布，讓振幅分布是均勻的（可取常數(shù)1），作為經(jīng)過迭代得到的加密圖像（相息圖）；在頻譜面上用加密圖像的頻譜除以輸入圖像的頻譜再取其相位作為該面下次迭代的相位板；在輸入面上用原圖像g(x，y)替換經(jīng)過迭代得到的光場(chǎng)分布的振幅，保留其相位，作為下次迭代的輸入。判斷迭代是否收斂可用解密圖像與原圖像的相關(guān)系數(shù)，即解密恢復(fù)圖像|Rk+1(x，y)|（假設(shè)經(jīng)過了七次迭代）與原圖像g(x，y)是否已最逼近。兩圖像的相關(guān)系數(shù)為：

式中：Cov(g，|Rk+1| )是g(x，y)和|Rk+1|?(x，y)的協(xié)方差；σg和σ|Rk+1|分別是g(x，y）和|Rk+1(x，y)|的方差。若已收斂，則停止迭代，完成圖像加密。此時(shí)，在得到的輸出圖像中取其相位部分exp[ i+k+1(x，y)]，這就是最后的加密圖像，它是一幅相息圖。把在頻譜面上得到的相位板的復(fù)共軛exp[- iφ2k+k（u，v）]作為圖像解密時(shí)的密鑰。

解密過程仍可使用如圖1所示的系統(tǒng)。只要在輸入面放置加密圖像exp[ i+k+l (x，y)]，在頻譜面放置密鑰exp[- iφ2k+k（u，v）]，并對(duì)其輸出取模就可以得到解密的圖像[Rk+1(x，y)]。

二、前向迭代多隨機(jī)相位板圖像文件加密

多隨機(jī)相位板加密可以看作是雙隨機(jī)相位板的級(jí)聯(lián)（或串聯(lián)），其原理圖如圖2所示。

其中m表示相位板數(shù)目。當(dāng)m為大于1的奇數(shù)時(shí)，空域面和頻域面各有（m+1）／2個(gè)，系統(tǒng)的輸出面為頻域面，得到的加密圖像代表的是頻譜分布的相息圖。當(dāng)m為大于2的偶數(shù)時(shí)，有（m／2+1）個(gè)空域面、m／2個(gè)頻域面，系統(tǒng)的輸出面為空域而，得到的加密圖像代表的是圖像分布的相息圖。

迭代開始時(shí)，位于各而（除輸出而外）上的相位板的相位分布是相互之間與統(tǒng)計(jì)無關(guān)的隨機(jī)相位分布，此時(shí)輸出面上為空（即振幅為1，相位為0的均勻分布）。在迭代過程中，對(duì)各面上的相位分布根據(jù)施加約束條件進(jìn)行更新。在輸入面上（第1個(gè)面）和輸出面上（第m+1個(gè)面）施加的約束條件與前向迭代雙隨機(jī)相位加密方法中在輸入而上和輸出面上施加的約束條件相同。在第m、第m-1直到第2個(gè)面上施加約束條件的方法與前向迭代雙隨機(jī)相位加密方法中在頻譜面上施加約束條件的方法相同。

下面以m為偶數(shù)為例來進(jìn)行說明D設(shè)經(jīng)過了k次迭代，從第1個(gè)面（輸入面）到第m個(gè)面上，各相位板依次已更新成為exp[iφ1,0(x，y)，exp[ iφ2,0(u，v)]，exp[iφ1,m-1(x，y)和exp[ iφm,k(u，v)]接下來進(jìn)行第k+1次迭代。輸入圖像g(x，y)與exp[ i+1，k(x，y)]相乘，經(jīng)Fourier變換在第2個(gè)面上可得到：

在第2個(gè)面上，G2,k與exp[ iφ2,0(u，v)]相乘，經(jīng)逆Fourier變換在第3個(gè)面上可得到：

以此類推，依次可得到G4，k，G5，k，…，Gm-1，k和Gm,k，其中Gm-1,k和Gm,k分別為：

在輸出面上得到的輸出圖像為：

在對(duì)輸出圖像施加約束條件（僅保留其相位分布）后得到約束輸出圖像：

根據(jù)約束條件反方向依次確定f'k+1(x,y)相位板的相位分布。對(duì)約束輸出圖像f'k+1(x,y)進(jìn)行Fourier變換，除以Gm,k后再取相位，得到第m個(gè)面上的新相位板的相位分布，可表示為：

其中ang{}表示取相位。以此類推，可依次確定第m-1個(gè)面、第m-2個(gè)面，直到第2個(gè)面上的新相位板的相位分布，可分別表示為：

在第1個(gè)面（輸入面）上得到的圖像為：

取該圖像的模|Rk+1(x，y)|作為解密恢復(fù)圖像，根據(jù)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)判斷迭代是否收斂。若滿足評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，則停止迭代，所得的相息圖f'k+1(x,y)即為加密圖像，各相位板的復(fù)共軛exp[- iφ2k+k（u，v）]，exp[- iφ2k+1+km-1（x，y）]exp[- iφ2k+k（u，v）]即為解密密鑰；若不滿足評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，則保留Rk+1(x，y)的相位exp[iφ1,0(x，y)]，用原圖像g(x，y)替換Rk+1(x，y)的振幅|Rk+1(x，y)|即將g(x，y)exp[iφ1,0(x，y)]作為下一次迭代的輸入，繼續(xù)迭代，直至滿足評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)為止。

m為奇數(shù)的情況與m為偶數(shù)的情況相比，其迭代過程相同。所不同的是：當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，得到的加密圖像是一幅表示空域圖像分布的相息圖；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，得到的加密圖像是一幅表示頻域頻譜分布的相息圖。

用多個(gè)相位板對(duì)圖像進(jìn)行加密，要想從加密圖像得到與原圖像最逼近的解密圖像，必須擁有全部密鑰，缺一不可，而且密鑰的放置次序不能顛倒，否則得不到正確的解密圖像。因此，用此方法加密圖像可大大提高圖像的保密和安全性能。

三、計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果及分析

在以下的各項(xiàng)計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)中，均選取像素為128×128的airplane作為原圖像，如圖3(a)所示a在迭代開始前，各相位板的相位分布均是在0～2兀之間均勻分布的隨機(jī)相位函數(shù)，相互之間與統(tǒng)計(jì)無關(guān)。

1、前向迭代算法與后向迭代算法的比較

以雙隨機(jī)相位板、相位量化階數(shù)為32階的情況為例，比較后向迭代算法1、后向迭代算法2和前向迭代算法（本文所采用的方法，算法3）的收斂速度及解密圖像的質(zhì)
量。上述三種算法迭代50次所得到的解密圖像分別如圖3(b)、圖3(c)和圖3(d)所示。圖3(e)是由三種算法得到的解密圖像與原圖像的相關(guān)系數(shù)。由圖3可以看出：

（1）在迭代次數(shù)相同時(shí)，用前向迭代算法得到的解密圖像的質(zhì)量明顯高于后向迭代算法；

（2）前向迭代算法比后向迭代算法的收斂速度快。

2、利用多個(gè)相位板可以減少由于相位量化階數(shù)有限所引起的誤差

受制作技術(shù)和工藝的限制，在實(shí)際制作相息圖和密鑰（相位板）時(shí)，通常要求它們的相位取值是分階梯量化的，也就是說相息圖和密鑰的相位值只能在0—2π之間取若干個(gè)階梯值。量化必然會(huì)使解密圖像和原圖像產(chǎn)生誤差，一般說來，量化的階數(shù)越高，由量化所帶來的誤差就越小，解密圖像的質(zhì)量越高。圖4(a)～圖4(d)是在雙隨機(jī)相位板情況下相位量化階數(shù)分別為8階、16階、32階和64階時(shí)用前向迭代算法迭代50次后得到的解密圖像；圖4(e)是在迭代次數(shù)不同時(shí)得到的解密圖像與原圖像的相關(guān)系數(shù)的比較。由圖4(e)可以看出，當(dāng)量化的階數(shù)較高時(shí)，解密圖像與原圖像的相關(guān)系數(shù)較大（或與原圖像的誤差較小），隨著量化階數(shù)的降低，解密圖像的質(zhì)量也變得越來越差。

由于迭代算法本身的特點(diǎn)，開始時(shí)收斂較快，隨著迭代次數(shù)的增加，慢慢進(jìn)入停滯狀態(tài)。

因此，在量化階數(shù)較低時(shí)，只通過增加迭代次數(shù)是無法提高解密圖像與原圖像的相關(guān)系數(shù)的，利用多個(gè)相位板可以彌補(bǔ)這方面的不足。表1是量化階數(shù)分別為4階、6階、8階和16階時(shí)，分別采用2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)和6個(gè)隨機(jī)相位板加密和迭代50次時(shí)所得到的解密圖像與原始圖像的相關(guān)系數(shù)。圖5是相位量化階數(shù)為8階，分別采用2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)和6個(gè)隨機(jī)相位板加密時(shí)，相關(guān)系數(shù)隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系。由表1和圖5可以看出，在量化階數(shù)相同的情況下，利用多個(gè)相位板可以減少由于量化階數(shù)有限引起的誤差，可提高解密圖像的質(zhì)量，尤其是在量化階數(shù)較少的情況下效果更加明顯。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)實(shí)際制作技術(shù)和工藝以及對(duì)解密圖像質(zhì)量的要求選取合適的相位板數(shù)目。

3、保密性及安全性能檢測(cè)

利用多個(gè)相位板對(duì)圖像進(jìn)行加密可以大大提高加密圖像的保密和安全性能。下面以三個(gè)相位板的情況為例來進(jìn)行說明，計(jì)算機(jī)模擬過程中相位量化階數(shù)為32、迭代次數(shù)為50次。在三相位板加密的情況下，解密時(shí)需要用兩個(gè)密鑰(相位板的放置順序：相息圖→密鑰1→密鑰2。圖6(a)是原圖像，圖6(b)是加密圖像（相息圖的相位分布），圖6(c)是密鑰1，圖6(d)是密鑰2，圖6(e)是兩個(gè)合法密鑰按照正確次序放置時(shí)的解密圖像，圖6(f)是密鑰1正確和密鑰2不正確時(shí)得到的解密圖像，圖6(g)是密鑰2正確和密鑰l不正確時(shí)得到的解密圖像，圖6(h)是兩個(gè)密鑰雖然正確但放置的次序錯(cuò)誤時(shí)的解密圖像a由以上結(jié)果可以看出，要想得到解密圖像，必須持有全部正確的相位板，且要知道這些相位板的正確放置次序a只有將正確的密鑰放置在正確的位置上才可以得到解密圖像，即使只有一個(gè)密鑰不正確或密鑰放置次序錯(cuò)誤，也得不到正確的解密圖像。當(dāng)相位板個(gè)數(shù)更多時(shí)，非法獲得解密圖像的難度將大大增加。因此，用多個(gè)相位板對(duì)圖像進(jìn)行加密可大大提高圖像的保密和安全性能。

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