在混沌通信系統(tǒng)中，超混沌系統(tǒng)同步技術(shù)越來越受到重視。為此我們提出了一種基于觀測器的超混沌同步加密算法應(yīng)用于數(shù)字簽名技術(shù)，這樣既克服了傳統(tǒng)的RSA和DSA加密算法中復(fù)雜的模運(yùn)算，又能提供很好的保密性和不可抵賴性。

一、離散混沌系統(tǒng)同步原理

基于觀測器，用一個(gè)標(biāo)量信號(hào)同步離散混沌系統(tǒng)的方法，其基本原理如下：

離散混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的一般表達(dá)式描述為：

b∈Rn和c∈Rn是常數(shù)矢量，f：Rn →R是非線性函數(shù)，y(k)是標(biāo)量同步輸出信號(hào)，K∈Rn是設(shè)計(jì)參數(shù)。當(dāng)給定驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(1)，基于觀測器的方法能用觀察量式(2)中所包含的狀態(tài)信息重構(gòu)出響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)，重構(gòu)的響應(yīng)系統(tǒng)一般表達(dá)式為：

其中觀測量y(k)的預(yù)測由：

給出定義同步誤差e(k)=x(k)一x'(k)，產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差動(dòng)力學(xué)由下列線性時(shí)變系統(tǒng)描述：

如果

是一個(gè)滿秩的矩陣，只要選擇適當(dāng)?shù)腒使得[A_bKT]的所有特征值為零，那么誤差動(dòng)力學(xué)式(5)將在步迭代后準(zhǔn)確為零。

此方法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)于一個(gè)m維離散混沌系統(tǒng)而言，只需m步就可達(dá)到完全同步；混沌同步在一定程度上具有自保持性。其理論體系是嚴(yán)格、系統(tǒng)的，而且不要求計(jì)算Lyapunov指數(shù)，甚至不要求驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件一定要屬于相同的吸引區(qū)。

二、超混沌廣義Henon映射的同步

有專家設(shè)計(jì)了理論上可無阻維的廣義：

式中：i=2,3...w，a>o,b>0，x∈Rw為維數(shù)，a和b為控制參數(shù)。

當(dāng)w=2時(shí)，該系統(tǒng)即為著名的Henon映射。

Richter詳細(xì)計(jì)算了當(dāng)固定控制參數(shù)a=1.76，b=0.1時(shí)的李氏指數(shù)，假設(shè)L是正的李氏指數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)w從2到10變化時(shí)，有如下線性的對(duì)應(yīng)關(guān)系L=w-1。換句話說，就是當(dāng)w>2時(shí)，該系統(tǒng)為超混沌。

本文采用四維廣義Henon映射，描述如下：

其中，o <|b|<1，1.54<a<2，系統(tǒng)具有三個(gè)正的Lyapunov指數(shù)。當(dāng)a=1.76，b=0.1，對(duì)于初始條件下X1(1) =1，X2(1) =1，X3(1) =1，X4(1) =1，系統(tǒng)呈現(xiàn)出超混沌行為，其空間相圖如圖1所示。依次為X1 - X2 - X3相圖，X1-X2-X4相圖，X1 -X3-X4相圖，X2-X3 -X4相圖。

超混沌廣義Henon映射寫成式(1)的形式，則：

容易證明從超混沌廣義Henon映射式(8)獲得的矩陣式(6)是滿秩的。選擇：

為同步輸出信號(hào)，通過選擇適當(dāng)?shù)腒使[A-bKT]的特征值為零，系統(tǒng)就能達(dá)到同步。這里，通過極點(diǎn)配置法選擇增益K為[000 0.1]，將兩個(gè)待同步的超混沌廣義Henon映射的初始條僻分別選擇為X1(1)=1，X2(1)=1，X3(1)=1，X4(1)=1和。經(jīng)過計(jì)算機(jī)仿真，可以清楚地看到，經(jīng)過四步迭代后，從不同的初始點(diǎn)開始的兩個(gè)超混沌廣義Henon映射達(dá)到了精確同步，如圖2所示。其中，。

三、超混沌同步加密

采用非線性狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)技術(shù)進(jìn)行加密，系統(tǒng)框圖如圖3所示。

本文中采用典型的一維Logistic映射作為混沌信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生混沌序列，Logistic映射是一個(gè)離散混沌系統(tǒng)，它的映射關(guān)系為：

當(dāng)xk∈[0-1]，λ∈(3.569945.4)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。設(shè)定系統(tǒng)初值和參數(shù)，代入混沌映射公式即可得到一系列混沌實(shí)數(shù)序列。由于系統(tǒng)初值和參數(shù)可以在給定范圍內(nèi)任意取值，故可以產(chǎn)生大量初值和參數(shù)組合，從而有較大的密鑰空間，增強(qiáng)了保密性。針對(duì)本文仿真采用的文本加密，輸入輸出均為字符的ASCⅡ碼，即0，1碼流，所以對(duì)于混沌實(shí)數(shù)序列采取量化處理，即規(guī)定：

由混沌序列生成新的碼字，與輸入的明文碼字進(jìn)行異或處理，即可得到待傳輸?shù)男盘?hào)。

設(shè)計(jì)的超混沌加密系統(tǒng)其發(fā)送端一般表達(dá)式為：

接收端一般表達(dá)式為：

定義狀態(tài)同步誤差，使得：

只要適當(dāng)?shù)剡x擇K，使得[A-bKI]的所有特征值為零，那么發(fā)送端和接收端在迭代有限步之后就能達(dá)到同步。從而得到所傳輸?shù)男蛄衧(k)，從而最終恢復(fù)出明文。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證此加密系統(tǒng)是否可行，對(duì)以下文本文件加密，即選擇明文如下：

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其對(duì)應(yīng)的AscⅡ碼(240位)為：

01010111 01100101 01101 100 01100011 01101111 _01 1 01 1 01 01 1 001 01 00100000 01110100 01101111 _00100000 0101 1001 01100001 01101110 01110011 _01 101000 01 100001 01 101 1 10 00100000 01010101 _01 1 01 1 1 0 01 1 01 001 01 1 1 01 1 0 01 1 001 01 01 1 1 001 0 _01 11001 1 01 101001 011 10100 01 1 11001 0100001

設(shè)定初值分別為3.8和0.1，通過Logistic映射產(chǎn)生混沌序列X1, X2, X3, X4, X5，由圖2可知，超混沌同步系統(tǒng)經(jīng)過四步迭代后方能達(dá)到同步，故在此選取Logistic映射中的X6， X7，...X245，共240個(gè)，保證超混沌系統(tǒng)可以達(dá)到同步，從而能夠正確恢復(fù)明文。將其量化然后與明文序列相異或所得s(k)為：

10001000 00001 1 10 00010010 101 1 1 100 1 101 1000 _11010110 00111110 1 1001010 10100010 10010100 _10001 1 1 1 10000100 00011110 1 1 01 01 00 1 1 0001 1 0 _000001 10 1 1001 1 10 101 10100 1 1 1 10101 10000010 _1 101001 1 10000100 10100000 1 1010010 101001 1 1 _0001 1 100 00011 100 0001 11 1 1 00000010 1 11 10100

將發(fā)送端和接收端的初始條件分別選擇為：

X1(1)=1, X2(1)=1, X3(1)=1, X4(1)=1和，將s(k)在無任何噪聲和干擾的信道中進(jìn)行傳輸，結(jié)果顯示基于狀態(tài)觀測器的超混沌廣義Henon映射同步加密方法能準(zhǔn)確恢復(fù)發(fā)送端調(diào)制的s(k)，發(fā)送端和接收端達(dá)到完全同步。接收端得到的序列如圖4所示。

恢復(fù)出正確的s(k)后，通過設(shè)定正確的參數(shù)，在接收端采用與發(fā)送端相同的一維Logistic系統(tǒng)作為混沌信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生出混沌序列，與s(k)’相異或，從而最終得到正確的明文：

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