根據(jù)雙邊對(duì)角線拉伸的思想，我們提出一種利用圖像加密的可逆二維混沌映射。該映射由左映射和右映射2個(gè)子映射組成，該方法通過對(duì)圖像的拉伸和折疊處理，來實(shí)現(xiàn)圖像文件的混沌加密。

一、二維混沌映射原理和算法

二維混沌映射利用了圖像的一個(gè)重要性質(zhì)：像素能夠插入到其他像素間。設(shè)圖像大小為N×N，通過映射首先將原圖像拉伸為長N2的直線，然后再折疊成N×N的圖像，如圖1所示。

1、左映射算法?

設(shè)A(i，j)，i，j=0，1，2，…，N-1，為圖像中任意一點(diǎn)；l(i)，i=0，1，...，N2-1，t為將A(i，j)拉伸后的一維向量。如圖1(a)所示，左映射算法為：

當(dāng)i+j<N、i>j時(shí)，有：

當(dāng)i+j<N、i≤j時(shí)，有：

當(dāng)i+j≥N、i<j時(shí)，有：

當(dāng)i+j≥N、i≥j時(shí)，有：

2、右映射算法

右映射算法既可以直接推導(dǎo)得到，也可以通過下列過程得到：

1)將原圖像作一次鏡像。設(shè)A，表示鏡像后的圖像，有：

式中i=0，1，2，…，N一1；j=0，1，2，...，N-1。

2)使用算法(1)～(4)，得到右映射算法。

3、折疊算法

式中，i=0，1，2，…，N一1；j=0，1，2，：…，N-1。

二、圖像文件加密、解密算法

由于映射可分為左映射和右映射。將左映射和右映射的映射次數(shù)設(shè)計(jì)為密鑰Key。如Key=1234，表示圖像依次左映射1次，右映射2次，然后用左映射3次，最后用右映射4次。為了保證加密效果，每一個(gè)部分密鑰值都小于10。加密算法如圖2所示，其中Ki及K2分別是密鑰Key的一部分，可以相同或可互相推導(dǎo)得到，函數(shù)F(K)為密鑰的函數(shù)，輸出為擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)。

圖像文件加密算法所采用的擴(kuò)散函數(shù)為：

式中：νk是指每一個(gè)像素的值；v'k為擴(kuò)散后的像素值；v-1=F(K2)，G（v'k一1）=5×v'k一1；256灰度圖，L=256。

圖像加密算法分為3步：

1)利用密鑰Ki及算法(1)～(5)，將圖像A(i，j)拉伸成一條直線l(i)，i=0，1，...，N2 -1。

2)利用算法(6)，將直線折疊得到置亂圖像B(i，j)。

3)利用密鑰K2及擴(kuò)散函數(shù)，對(duì)置亂函數(shù)進(jìn)行處理得到密圖。

圖像解密算法與加密算法相反，如圖3所示。解密密鑰與加密密鑰相同，因此該加密算法為對(duì)稱加密算法。

三、加密實(shí)例和安全性能分析

如圖4所示，對(duì)Lena 256灰度網(wǎng)進(jìn)行加密。為了研究二維混沌映射的加密效果，首先令K2 =0，即不使用擴(kuò)散函數(shù)。此時(shí)，加密系數(shù)僅僅置亂圖像，沒有改變圖像的像素值（直方圖不
變）。當(dāng)Key=1時(shí)，圖像已沒有原圖特征；當(dāng)Key=1234567890123456時(shí)，密圖像素平均分布，加密效果良好。

1、安全性能分析

（1）密鑰空間分析

由于最基本、最流行的破解方法是對(duì)密鑰進(jìn)行窮盡搜索，密鑰空間大是加密算法安全的前提。圖像加密算法的密鑰空間（無擴(kuò)散函數(shù)）如表1所示。研究表明，密鑰空間大小只和密鑰長
度有關(guān)，在理想情況下（計(jì)算速度允許），可認(rèn)為密鑰能無限增加。

（2）密鑰敏感度

當(dāng)加密密鑰Key=1234567890123456加密時(shí)，用解密密鑰Keyi=1234567890123455和Key2 =1234567890123457分別解密。如圖5所示，即使加密密鑰和解密密鑰僅1位有最小的差異，也無法解密圖像，證明對(duì)密鑰差異非常敏感。

（3）統(tǒng)計(jì)分析

由于圖像相鄰像素間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，如果密圖相鄰像素間相關(guān)性變小，說明密圖安全性變強(qiáng)。圖6為（x，y）和(x+1，y）的關(guān)系，原圖的相關(guān)系數(shù)為0. 9442，加密后的相關(guān)系數(shù)為0. 0054，證明密圖相鄰像素間相關(guān)度接近于零。其他相鄰點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)如表2所示，說明密圖相鄰像素間相關(guān)性很小。

2、擴(kuò)散算法

因?yàn)閮H對(duì)圖像進(jìn)行置亂是不安全的，很難抵御明文攻擊。為了增強(qiáng)加密算法的安全性，增加擴(kuò)散函數(shù)，見式(7)，其中v-1 =F(K2) =150。加密后，密圖和直方圖分別如圖7所示。

在增加了擴(kuò)散機(jī)制后，對(duì)原圖像只有1個(gè)像素點(diǎn)有差異的2個(gè)密圖進(jìn)行NPCR(number 0f pixels change rate)和UACl(unified average changing intensity)分析。如圖8和圖9所示，當(dāng)
加密次數(shù)n=2時(shí)，NPCR≈I。在參數(shù)不變的情況下，2個(gè)僅有1個(gè)像素不同的圖像，隨著加密次數(shù)的增加，密圖變得完全不同，2個(gè)原圖的差別擴(kuò)散到密圖的整個(gè)區(qū)域，說明擴(kuò)散效果良好。

四、與其他混沌加密技術(shù)的比較

和混沌流密碼比較，該加密算法具有加密速度快、可移植性強(qiáng)的特點(diǎn)，由于并非直接使用偽隨機(jī)混沌流掩蓋明文，而是首先采用二維混沌映射置亂像素，然后利用擴(kuò)散算法改變像素值。因此，從一定程度上避免了因?yàn)閯?dòng)力學(xué)特性退化問題帶來的安全隱患，加密前后沒有信息損失、移植性高，加密方法簡(jiǎn)單，易于軟件、硬件實(shí)現(xiàn)。

和其他混沌映射比較，具有：

1）更大的密鑰空間，如Baker map最大為2N-1 (N為圖像的寬)，而該加密的密鑰空間理論上只和密鑰長度有關(guān)，只要計(jì)算速度允許，密鑰長度可隨之增加。

2）對(duì)密鑰變化更敏感i該算法將密鑰設(shè)計(jì)為整個(gè)圖像拉伸、折疊的數(shù)目，因此只要密鑰稍有變化，密圖就會(huì)截然不同。但其他二維混沌映射基本都將圖像分塊的數(shù)目設(shè)計(jì)為密鑰，拉伸、折疊操作都是對(duì)部分圖像進(jìn)行的。因此，用相似的密鑰可以解密密圖，降低了加密安全性。

3）加密算法更加簡(jiǎn)單、清晰，易于實(shí)現(xiàn)。如Baker map 一般形式下的算法具有非常復(fù)雜的形式，而該加密算法非常簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。

4）加密速度快，能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)加密。

在一臺(tái)PentiumⅢ（M）1.13 GHz的筆記本電腦上仿真表明，未優(yōu)化的二維混沌映射的vc程序，運(yùn)行速度約為3 Mbps。能滿足實(shí)時(shí)文件加密需要。該混沌映射也能應(yīng)用于數(shù)字水印等領(lǐng)域。

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