為了應對有限精度產(chǎn)生的混沌動力學特性退化問題，近年來有許多的改進方案，為此，我們提出一種基于被擾動的Lorenz系統(tǒng)的混沌加密算法。該加密算法能夠在保證加密速度的前提下，使得混沌序列隨機性、加密系統(tǒng)安全性等方面都優(yōu)于基于三維混沌密碼系統(tǒng)和基于聯(lián)合混沌加密系統(tǒng)。

一、基于被擾動的Lorenz系統(tǒng)的混沌加密算法設計

1、對Lorenz系統(tǒng)參數(shù)的擾動

Lorenz系統(tǒng)是一經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)，其動力學方程為：

其中a、b、c是系統(tǒng)參數(shù)，該系統(tǒng)當a=1O、b>24.74、c=8/3時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。然而在精度有限的計算機上模擬計算的過程中，當?shù)螖?shù)較大時，z維上的數(shù)據(jù)會出現(xiàn)短周期的
現(xiàn)象，如圖1所示。

往介紹擾動過程之前先引入Legendre多項式：

Legendre方程：

式（2），當|x|<1時，可得到有界解，并且當n為非負整數(shù)，即n=0，1 ，2，3...時，在x=±1點亦有有界解。這種情況下，隨n值變化方程的解相應變化（如圖2）。

構(gòu)成一組由正交多項式組成的多項式序列，即：Legendre多項式：

其遞增表達式由（3）式給出：

Legendre多項式產(chǎn)生具有自相關性和較高的線性復雜度性的，均值偽隨機序列，利用它來對混沌系統(tǒng)參數(shù)進行擾動。提高了混沌序列的隨機性、復雜性。彌補了計算機等數(shù)字系統(tǒng)有限精度所帶來的不足，從而增強加密系統(tǒng)的安全性。

選取b作為擾動的系統(tǒng)參數(shù)，具體擾動過程如下：

1）選定初始值x0∈（-1，1），利用式（3）。通過迭代，得到一個序列：

2）將序列bm應用到Lorenz系統(tǒng)的每一次迭代中，Lorenz系統(tǒng)在每一次迭代前，首先通過下面公式：

得到每一次迭代需要的b，從而擾動了Lorenz系統(tǒng)中的系統(tǒng)參數(shù)b。

2、算法描述

本法選用的混沌系統(tǒng)為Lorenz系統(tǒng)，首先利用Legendre多項式的遞推式（3）產(chǎn)生序列bm，將這個序列值分別作為Loren系統(tǒng)（l）選代過程中系統(tǒng)參數(shù)b的改變值，Loren系統(tǒng)經(jīng)過特定次數(shù)的迭代以后得到最后所需的混沌序列。這個特定次數(shù)（除第一次外）是由上一次加密的密文和當前的明文共同決定的，然后用混沌序列對原文信息進行加密操作。從而隱藏原文。

3、加密過程

本文以一副圖像為例介紹具體加密過程。

似沒．我們要加密一個圖像文件P（N×M）。首先，將圖像P（N×M）從定到右、由上而下進行掃描，將掃描到的數(shù)據(jù)放到P[N]中，具體加密方法如下：

1）將x0∈（-1，1）作為初始值代入（3）進行遞推。遞推50次得到序列：

2）對第m，（m+1）和（m+2）個像素加密時，將x，y，z，a=10，b=bm．c=8/3作為式（1）的初始值進行迭代，略去前500次迭代。以501次為起點繼續(xù)迭代特定次數(shù)得到（特定次數(shù)是由待加密像前兩個已加密的像索值決定）偽隨機序列：

迭代過程中，每迭代一次，將b值按（4）進行變化，不斷的對系統(tǒng)進行擾動。

迭代完成后，分別將第m，（m+1）和（m+2）個像素值p（m），p（m+1和P（m+2）與某一個rij進行異或操作得到密文c（m）和c（m+2）即：

其中，rij中i ，j的值由式（5）求的：

3）對圖像文件前三個像素值文件加密時，首先用x，y，x，a=10，b=b1．c=8/3作為初值進行達代50次，由步驟2得到密文c（1）．c（2）和c（3）。然后按步驟2依次對圖像中的每個像素進行操作，最后將整個文件操作完畢，最后可以得到加密后的密文圖像c。

4、解密過程

解密過程與加密過程相反，即：步驟2中提到的迭代的次數(shù)由前3個像素值決定。式（6）改為：

二、實驗結(jié)果

利用上述算法，Legendre多項式的初始值為x0=0.421518，Lorenz系統(tǒng)的初始值為x=1.184 07，y==1.362 86，z=1.25215和c=2.666 74。對256x256的lean圖（圖3（a））進行加密，圖3（c）為加密后的結(jié)果。圖3（b）和（d）分別是待加密圖像和已加密圖像的直方圖。

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