gyrator變換全息圖是利用gyrator變換快速算法模擬實現(xiàn)了gyrator變換全息圖的產(chǎn)生和再現(xiàn)，并研究了基于相移數(shù)字全息的gyrator變換全息圖，在此基礎(chǔ)上提出了采用正弦相位光柵實現(xiàn)光學(xué)圖像加密的新方法，該方法利用gyrator變換在相空間的旋轉(zhuǎn)特性，將gyrator變換的角度、光柵的頻率及光柵的旋轉(zhuǎn)角度作為加密密鑰，并利用兩個或兩個以上的gyrator變換系統(tǒng)的級聯(lián)實現(xiàn)圖像加密，增加了系統(tǒng)的安全性。

一、gyrator變換及其光學(xué)實現(xiàn)

函數(shù)f(x，y)的GT的數(shù)學(xué)形式定義如下：

式(1)中Gα(*)表示旋轉(zhuǎn)角度為α的GT，Kα(u，v；x，y)為變換核，(u，v)為空間頻率坐標(biāo)，(x，y)為空間位置坐標(biāo)，當(dāng)α=O時，Gα(*)為恒等變換；當(dāng)α=π/2時，Gα(*)為坐標(biāo)交換的傅里葉變換，GT的旋轉(zhuǎn)角度α具有可加性和周期性。

而Gα{*}的逆變換為G-α{*}，根據(jù)式(4)，有：

可以將式(5)作為旋轉(zhuǎn)角度為α的GT逆變換形式。

GT的光學(xué)實現(xiàn)形式是由三個廣義柱透鏡級聯(lián)形成的光學(xué)系統(tǒng)，如圖1，圖1(a)為三個廣義柱透鏡級聯(lián)形成的透鏡組光學(xué)系統(tǒng)，透鏡組中廣義透鏡之間的距離相同，都為z。廣義透鏡l1和廣義透鏡l3的焦距同為z。廣義透鏡l2的焦距為z/2。P1和P2分別為輸入平面和輸出平面。

圖l(b)為廣義透鏡的結(jié)構(gòu)，這里的廣義透鏡是由兩個相同的會聚柱面透鏡旋轉(zhuǎn)一定的角度緊貼在一起構(gòu)成的，其中φ1和φ2分別為兩柱面透鏡對稱軸相對于oy軸所旋轉(zhuǎn)的角度，且滿足：

輸入平面上的光波復(fù)振幅f(x，y)通過這個光學(xué)系統(tǒng)的變換作用，在輸出平面得到復(fù)振幅分布為：

式(7)中λ為光波波長，如果令：

則在引入坐標(biāo)量綱歸一化因子√λz的條件下，式(7)與式(1)是完全一樣的。

二、GT全息圖

根據(jù)光學(xué)全息的原理，GTH是物體在單色平面波的照明下，利用GT的光學(xué)實現(xiàn)系統(tǒng)，通過一定角度的GT后生成的物光波的GT波面與平面參考光波在GT域平面進行干涉，用全息的方法記錄下的物光波的GT波面的復(fù)振幅分布I再現(xiàn)時，用參考光波照明全息圖，再經(jīng)過相應(yīng)角度的逆GT，在系統(tǒng)的輸出平面得到物體的再現(xiàn)像。

1、GT全息圖的記錄和再現(xiàn)

GTH記錄光路如圖2(a)。圖中Iai，i(i=1，2，3)表示構(gòu)成變換角度為α的廣義透鏡，用單色平面光波照明物平面O上的輸入圖像f(x，y)，在變換角度為α的GT域平面H上，引入?yún)⒖脊釸(u，v)和圖像的GT光場F（u，V）=Gα(*){f(r，y)}進行干涉，得到輸入圖像的GTH的光強分布為：

經(jīng)線性處理后的全息圖的振幅透過率H(u，v)和D(u，v)成正比

k為比例常量，再現(xiàn)時的光路如圖2(b)。圖中L-α,i(i=1，2,3）表示構(gòu)成變換角度為-α的廣義透鏡，用參考光波作為入射光波照明物平面上的全息圖H(u，v)，透射光場為：

透射光場經(jīng)過變換角度為-α的GT光學(xué)系統(tǒng)后，在成像平面上的光場分布為：

式中I1為衍射零級；I2為衍射正一級，是原圖像的再現(xiàn)像；I3為衍射負一級，在變換角度不等于π/2時，通常為一個模糊的像，模糊的程度與變換角度偏離π/2的程度有關(guān)。

如果對透射光場施行角度為α’=α-π的GT，則成像平向上的光強分布為：

對于輸入圖像而言，f(x，y)是一個實數(shù)函數(shù)，則f*(u，v)可以表達為：

則：

可見，對透射光施行與記錄時的變換角度耐目匹配的另一變換角度d'=α-π，將得到與原圖像相反的像f(-x，-y)，類似菲涅爾全息的共軛像再現(xiàn)，這是GTH的一個顯著特點。

2、數(shù)值模擬實驗

為了驗證提出的GTH的可行性，在GT快速算法的基礎(chǔ)上模擬了GTH。模擬實驗中，所用光波波長為λ=632.8nm，輸人物體為512x512像素的二值圖像(圖3(a))，GT的角度分別為α=25°、45°、75°、85°、88°和90°，參考光與光軸夾角為θ=1.6°，物光與參考光的強度比為1:3，數(shù)值模擬結(jié)果如圖3所示。為簡便僅給出變換角度為75°的全息圖(圖3(b))，各個變換角度相應(yīng)的再現(xiàn)結(jié)果依次由圖3(c)至圖3(h)給出：而圖3(i)則是圖3(b)在變換角為105 0的GT下再現(xiàn)共軛像的結(jié)果。

從GTH的記錄過程可見，GTH與傅里葉變換全息圖和菲涅耳全息圖既不同而又有相似之處。傅里葉變換全息圖記錄的是物的頻譜，菲涅耳全息圖記錄的是物光波前，GTH記錄的則是物光波經(jīng)GT的波前o GT域上的場分布既與物函數(shù)有關(guān)，又與變換角度有關(guān)，而后者由式(8)決定于廣義透鏡的結(jié)構(gòu)參數(shù)。從GTH再現(xiàn)物體的像的方式上看，它用原參考光照明全息圖，使全息圖再現(xiàn)的波前再經(jīng)過一逆變換系統(tǒng)成像，再現(xiàn)方式與一般的傅里葉變換全息圖相同。從GTH再現(xiàn)像的分布上看，小角度的GTH再現(xiàn)的衍射O級分布的面積較大，對衍射正一級形成了較大的噪聲干擾：隨著變換角度的增大，衍射0級分布的面積逐漸減小，當(dāng)變換角度接近90°時，衍射0級就收縮到觀察平面中央很小的一個矩形區(qū)域，而變換角為90°時，GTH就退化為傅里葉變換全息圖，其再現(xiàn)結(jié)果和傅里葉變換全息圖的再現(xiàn)結(jié)果是完全一樣的；在變換角度不等于90°，再現(xiàn)的衍射O級的形狀為一個“#”形的分布，這是GT所特有的一種分布。因此，GTH圖既區(qū)別于一般的菲涅耳全息圖，又有別于一般的傅里葉變換全息圖。

3、消除衍射零級及共軛像的gyrator變換全息圖

同其他全息圖一樣，要應(yīng)用GTH必須消除再現(xiàn)時衍射0級和共軛像對于再現(xiàn)的原像的干擾。目前能較好地消除衍射0級和共軛像的技術(shù)是相移數(shù)字全息術(shù)，將其應(yīng)用于GTH中，相應(yīng)的光路如圖4所示。

通過調(diào)整平行參考光路中凇波片和M波片快慢軸的相對位置關(guān)系可以獲得相移值分別為0、π／2、π和3π/2的四幅全息圖H1(x，y)、H2(X，y)、H3(X，y)和H4(X，y)，設(shè)參考光波共軛光波在干涉平面的復(fù)振幅分布為R‘(x，y)，利用四步相移算法可得干涉平面處物光波復(fù)振幅分布為：

按照圖4的光路，以512x512像素的圖像作為輸入圖像(圖5(a))，假設(shè)CCD幅面大小為512x512個像素，像元尺寸為6.45Umx6.45μm，物光與參考光的夾角為3.6°，物光與參考光的強度比為1:3，入射單色平面光波波長為632.8μm，利用GT數(shù)值算法，模擬在變換角度為45°時所進行的四步相移數(shù)字全息，得到的全息圖像為圖5(c)（為簡便只給出一幅數(shù)字全息圖），由數(shù)字全息圖計算得到的復(fù)值圖像的振幅和相位分別為圖5(d)和圖5(e)，而由復(fù)值圖像進行再現(xiàn)的結(jié)果如圖5(f)所示。從再現(xiàn)結(jié)果可以看到，再現(xiàn)的圖像有輕微的模糊，但圖像的細節(jié)還是能清楚的分辨（如帽子的褶皺和帽檐線等），再現(xiàn)圖像還帶有輕微的雙曲線型條紋噪聲（圖像下部），對圖像信息的整體影響不大，雙曲線型噪聲可通過GT域濾波得以消除。從再現(xiàn)像的結(jié)果可以看到，衍射0級和共軛像的干擾已被消除。圖5(b)是原圖像的GT結(jié)果，對比圖5(c)，可以看到全息圖明顯出現(xiàn)了雙曲線型的干涉條紋，而由全息圖計算出的復(fù)值圖像的振幅和相位都帶有雙曲線型條紋噪聲，這就是再現(xiàn)像中帶有雙曲線型條紋噪聲的原因，這是由GT產(chǎn)生的。進一步的實驗表明，當(dāng)逆GT角度和原變換角度一致時，雙曲線型噪聲將得到減弱或消除：而當(dāng)逆GT的變換角度和原變換角度有差異時，雙曲線型噪聲將會增強，變換角度的差異過大時將使圖像難以辨認。

三、gyrator變換全息圖在光學(xué)圖像加密中的應(yīng)用

在GT提出之后，GT能夠應(yīng)用于圖像加密中，多次迭代的GT操作能實現(xiàn)圖像加密，并給出了應(yīng)用兩次迭代GT的圖像加密算法和數(shù)值結(jié)果。將迭代GT的圖像加密方法推廣應(yīng)用于光學(xué)圖像加密系統(tǒng)中，盡管描述了采用干涉的方法來記錄，但是他們都沒有給出相應(yīng)的GTH，所有的結(jié)果都是數(shù)學(xué)算法上的數(shù)值結(jié)果。

在本文提出的GTH的基礎(chǔ)上，應(yīng)用圖4的四步相移干涉數(shù)字全息方案，提出了一種采用正弦相位光柵實現(xiàn)GT光學(xué)圖像加密的新方法。

1、采用正弦相位光柵的數(shù)字全息加密系統(tǒng)

雙隨機相位編碼的圖像加密技術(shù)，其基本思想是：利用隨機相位掩膜在變換域捋待加密圖像的傅里葉域頻率信息的分布擾亂而獲得振幅和相位都接近于白噪聲的加密圖像，實現(xiàn)加密。因此，在進行圖像加密時只要想辦法在變換域擾亂圖像的傅里葉域頻率信息就能達到加密的目的，而為了解密，則要求變換域是可逆的。GT是可逆的變換，GT的一個重要特征是使二維信號在相空間中發(fā)生位置坐標(biāo)一空間頻率坐標(biāo)的一種扭曲旋轉(zhuǎn)（又稱為cross-gyrator），即GT在相空間的旋轉(zhuǎn)不是通常意義上的相平面(x，M)和相平面(y，v)的旋轉(zhuǎn)（如傅里葉變換和分數(shù)傅里葉變換等），而是相平面(x，v)和相平面（y，v）的旋轉(zhuǎn)，這種旋轉(zhuǎn)改變了信號原有的位置坐標(biāo)一空間頻率坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，這就為擾亂信號的傅里葉頻譜提供了一個天然的平臺。但僅施行GT還不能完全擾亂信號的傅里葉頻譜，若能先讓信號的傅里葉頻譜發(fā)生某一角度的旋轉(zhuǎn)再施行GT，則信號的傅里葉頻譜會很大程度上被擾亂，若多次重復(fù)這一過程，并且使每次傅里葉頻譜的旋轉(zhuǎn)角度和GT角度都不一樣，則輸入信號的傅里葉頻譜就會被完全擾亂。光學(xué)中的e調(diào)制實驗表明，用不同取向的光柵調(diào)制后的圖像其傅里葉譜將按光柵調(diào)制方向旋轉(zhuǎn)，因而可以采用正弦相位光柵實現(xiàn)對待加密圖像的傅里葉頻譜的旋轉(zhuǎn)。

圖6是本文提出的采用正弦相位光柵實現(xiàn)GT光學(xué)圖像加密光路的示意圖。這是兩個子系統(tǒng)的級聯(lián)形成的光路，每一單獨的子系統(tǒng)由正弦相位光柵和GT系統(tǒng)組合后形成，光柵平面為GT系統(tǒng)的輸入平面，而后一級的輸入平面為前一級的輸出平面，整個加密系統(tǒng)的輸入圖像由空間光調(diào)制器SLM1產(chǎn)生，光柵分別用兩個空間光調(diào)制器SLM2和SLM3產(chǎn)生，而SLM1和SLM2緊密連接，系統(tǒng)的輸出是由CCD來記錄物光與參考光的干涉圖像。用這部分光路取代圖4中物光的GT部分即可采用相移數(shù)字全息的方法記錄加密圖像的數(shù)字全息圖。

正弦相位光柵由空間光調(diào)制器（SLM）產(chǎn)生，如德國HoIoEye公司生產(chǎn)的Holoeye LC2002液晶SLM在一定條件的情況下，對于入射的光波，從檢偏器出射的光與入射到液晶的光可以出現(xiàn)兀以上的相位變化，因而只需將送入到SLM的正弦光柵強度圖像調(diào)制到相位輸出的模式即可。而正弦光柵強度圖像可用如下方法產(chǎn)生：

設(shè)SLM的像素尺寸是WxH（W>H），構(gòu)造一個大小為nWxnW( n=2，3，4_)的圖像平面，圖像的水平坐標(biāo)0和nW-1分別對應(yīng)的角度為0和兀，這樣將角度區(qū)間[0，兀]離散化為nW點，每個點的角度值為：

則構(gòu)造光柵圖像的每一列的數(shù)值為Zk=siri(f·Xk)（f為光柵頻率），將構(gòu)造的光柵圖像逆時針旋轉(zhuǎn)角度φ后截取圖像中央?yún)^(qū)域大小為WxH的圖像作為正弦光柵強度圖像送人SLM。這樣產(chǎn)生的光柵包含由如下參數(shù)：W、φ、n、f和H，只有所有參數(shù)相同時，按上述方法產(chǎn)生的正弦光柵才相同，為簡便，我們可以默認加密和解密過程中所有的光柵的W、H、n參數(shù)都相同，而光柵函數(shù)可以表達為S(x，y；f，φ)。

按照圖6的加密光路，利用正弦相位光柵進行GT光學(xué)加密的數(shù)學(xué)算法描述如下：

設(shè)GT系統(tǒng)I和GT系統(tǒng)II的變換角度分別為α1和α2，輸入的圖像函數(shù)為q(x，y)，兩個正弦相位光柵的相位分布函數(shù)分別為：

其相應(yīng)的相位共軛函數(shù)為：

則加密過程：

解密過程為：

采用相移數(shù)字全息方案時，CCD記錄的是加密圖像Q(u，v)的數(shù)字全息圖，而解密時的復(fù)函數(shù)Q(u，v)則由相移數(shù)字全息算法計算得到，解密過程完全在計算機中計算完成。

2、仿真實驗及性能分析

依據(jù)式(27)和(28)，綜合圖4和圖6，對本文提出的在相移數(shù)字全息的基礎(chǔ)上采用正弦相位光柵實現(xiàn)GT光學(xué)圖像加密的方法進行數(shù)值模擬。仍以圖5的模擬參數(shù)作為基本的光學(xué)參數(shù)，假定所用空間光調(diào)制器的分辨率都為512x512，像素尺寸為32μmx32μm，產(chǎn)生光柵時，參數(shù)n=3，兩個正弦光柵grating I(圖7(b))和grating II(圖7(c))的參數(shù)分別為：

GTI的變換角度為α1=50°，GTII的變換角度為α2=167°，實驗結(jié)果如圖7所示。為了簡便，圖像被加密后的四幅相移數(shù)字全息圖只給出其中一幅(圖7(d))，從全息圖上不能得到原圖像的信息，而從數(shù)字全息圖懨復(fù)的復(fù)值加密圖像的振幅(圖7(e))和相位(圖7(f))也得不到原圖像信息，并且相位圖像接近白噪聲。圖7(g)是在各個加密參數(shù)（a1，a2，f1，f2，φ）都正確的解密結(jié)果，解密圖像除了有輕微的模糊和舍有噪聲外，與原圖像是一致的。圖7(h)-(k)分別是a2，ai，f2和仇錯誤的解密結(jié)果，可以看
到這四個參數(shù)任意一個錯誤都不能得到正確的解密結(jié)果。

可以用兩幅圖像的相關(guān)系數(shù)(CC)來評價本文所提出的加密方法的性能。如果以O(shè)(x，y)和D(x，y)分別代表原圖和解密圖像，那么兩幅圖像的CC應(yīng)該為：

這里E{*｝表示求期望值運算。據(jù)此考察了在解密時各個加密參數(shù)單獨錯誤的CC，如圖8所示。從圖中可以看到，解密時第一級的GT系統(tǒng)中角度的錯誤對解密結(jié)果影響不大，只有在變換角度錯誤較大時(|△α1|>12.8°，圖8(a))才產(chǎn)生無法辨認的解密結(jié)果：而第一級正弦相位光柵的錯誤則對于解密結(jié)果毫無影響(圖8(b)、(c))。解密時第二級的Grr系統(tǒng)中角度的錯誤對解密結(jié)果影響較大，在|△α2|> 1.80時(圖8(d))，解密的圖像已經(jīng)無法辨認：而第二級正弦相位光柵的錯誤對解密結(jié)果影響很大，光柵頻率錯誤達到0.7或光柵的旋轉(zhuǎn)角度錯誤達0.40時，解密圖像和原圖像的CC就降低到了0.1左右，解密圖像不可辨認(圖8(e)、(f))。由此可看到，第二級GT系統(tǒng)對整個加密系統(tǒng)的安全性起著決定作用，第二級GT系統(tǒng)的三個參數(shù)（α2，f2，φ）是具有良好安全性能的加密密鑰，進一步的實驗表明，當(dāng)采用多級GT系統(tǒng)級聯(lián)時，加密系統(tǒng)的密鑰空間會增大，加密系統(tǒng)的安全性能會得到更大的提高。

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