基于構(gòu)造結(jié)合混沌隨機(jī)掩碼的虛擬光學(xué)成像系統(tǒng)，利用信息光學(xué)基本理論和透鏡成像系統(tǒng)原理，我們提出了一種基于混沌隨機(jī)掩碼的虛擬光學(xué)成像系統(tǒng)的圖像加密算法和解密算法。該加密算法有效地利用了混沌映射對(duì)初始條件的極端敏感性和混沌序列的高度隨機(jī)性，來提高加密系統(tǒng)的安全度。

一、混沌掩碼虛擬光學(xué)加密原理與算法

1、混沌映射

混沌是在確定性非線性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機(jī)因素出現(xiàn)的一種類似隨機(jī)行為，混沌系統(tǒng)具有一系列重要特性，如對(duì)初始條件的極端敏感性；軌道在整個(gè)相空間具有伸長(zhǎng)與折疊的特性和可以再生的類隨機(jī)性。這些特性使得混沌映射與密碼學(xué)的要求很相吻合。為了尋求新型的高效信息加密方式，混沌映射已被應(yīng)用到信息加密技術(shù)中。Logistic映射是一種最常見的混沌映射，其系統(tǒng)由下列迭代公式表示：

式中：n為迭代次數(shù)；z0為系統(tǒng)初始值；μ為系統(tǒng)參數(shù)(0<μ≤4)，當(dāng)3.57≤μ≤4時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。由Logistic映射產(chǎn)生的所有序列都敏感地依賴于初始條件；此外，Logistic映射的所有軌道在(0，1)范圍內(nèi)稠密。：給定兩個(gè)稍微不同的初始值，經(jīng)過多次迭代后將產(chǎn)生兩個(gè)截然不同的偽隨機(jī)序列?；煦缧蛄械倪@種對(duì)初始條件的高度敏感性，可提高加密系統(tǒng)的安全性。

2、虛擬光學(xué)成像系統(tǒng)理論

考慮一個(gè)加入混沌隨機(jī)模板（用于模擬隨機(jī)光場(chǎng)）的單透鏡光學(xué)成像系統(tǒng)，如圖1所示。

圖中，d0是物平面（信息平面）到成像透鏡前表面的距離， di是透鏡后表面到像平面的距離。物平面，透鏡前表面，后表面以及像平面的復(fù)振幅分布分別表示為Uo(xo，yo)，UL1(ζ，η），UL2(ζ，η）和Ui(xi,yi)。假定信息平面和混沌隨機(jī)模板由相同選定波長(zhǎng)的相干光照明，且此成像系統(tǒng)中所涉及的衍射都滿足菲涅耳近似條件。根據(jù)傅里葉光學(xué)，虛擬光波從物平面到透鏡前表面的傳播過程可用菲涅耳衍射變換公式(2)來描述；虛擬光波從透鏡后表面到像平面的傳播過程也可用菲涅耳衍射變換來描述。

式中：用FT{}表示傅里葉變換；λ為光波波長(zhǎng)。為了在數(shù)字域?qū)崿F(xiàn)上述透鏡成像過程并利用它進(jìn)行信息加密，需要對(duì)Uo(xo，yo)進(jìn)行NxN的采樣，沿x0和yo方向的采樣間隔分別為Δxo和Δyo，這樣x0和yo可以用kΔxo和lΔyo替換，其中k，l是0到N-1之間的整數(shù)。同理，ζ和η以用mΔζ， mΔη替換：空間頻率fx和fy用mΔζλd0和nΔηλd0替換，m，n也是0到N-1之間的整數(shù)。離散化過程可以用下面的公式表示：

根據(jù)Shannon采樣定理，可以得到：

考慮透鏡光圈大小有下列關(guān)系存在：

根據(jù)公式(3)～(7)可以得到菲涅耳變換的離散表達(dá)形式，稱為離散菲涅耳變換(Discrete Fresnel Diffraction，DFD)，其中從物平面到透鏡前表面的DFD計(jì)算公式如公式(8)所示：

由上式可以看出離散菲涅耳變換的計(jì)算可由信息平面的復(fù)振幅分布函數(shù)Uo(k,l)與二次因子之積的離散傅里葉變換(DFT)實(shí)現(xiàn)。因此可運(yùn)用快速傅里葉變換(FFD來計(jì)算式中的離散傅里葉變換以提高運(yùn)算速度。另外，對(duì)透鏡的復(fù)振幅透過率公式(8)也要進(jìn)行采樣，得到其離散形式：

式中：m，n=0，1，．…，N-1，為透鏡焦距。

此外，像距參數(shù)di、物距參數(shù)do和透鏡焦距，之間的關(guān)系滿足下列透鏡成像定律：

3、加密算法解密算法描述

在加密過程中，用離散菲涅耳變換(DFD)計(jì)算信息平面（用Uo表示）和混沌隨機(jī)模板（用UM表示）到透鏡前表面的衍射，衍射距離分別為d0和d，其中d=d1+d2。它們?cè)谕哥R前表面的菲涅耳衍射圖案將發(fā)生干涉，得到干涉圖，干涉圖又經(jīng)透鏡的復(fù)振幅透過率函數(shù)轉(zhuǎn)換到達(dá)透鏡的后表面。將成像透鏡后表面的復(fù)振幅分布（用UL2表示）作為密文，它可以通過通信鏈路傳送。下面的方程可以描述上述加密過程：

在加密過程中，除了d0，f和λ以外，混沌隨機(jī)模板編碼的生成參數(shù)和它到透鏡前表面的衍射距離d也為設(shè)計(jì)多維密鑰提供了可能的途徑，混沌隨機(jī)模板可由混沌系統(tǒng)參數(shù)及系統(tǒng)的初值z(mì)o決定4這樣，由五元組(do，f，λ，d，zo)構(gòu)成了加密系統(tǒng)的獨(dú)立密鑰空間，這使得不知道正確密鑰的攻擊者很難解密出明文圖像。

解密過程相當(dāng)于求物體在虛擬光學(xué)成像系統(tǒng)像平面形成的實(shí)像。由于接收方得到的密文信息為分布函數(shù)UL2(m，n)，為了正確解密，需要求出Uo(x0,yo)在成像平面的實(shí)像。利用五元組(do，f，λ，d，zo)密鑰參數(shù)，求Uo(x0,yo)在像平面的復(fù)振幅分布步驟如下：

(1)由z0'參數(shù)生成混沌隨機(jī)模擬光場(chǎng)UMl(k,f)，然后通過衍射距離為d的DFD變換以及透鏡的復(fù)振幅透過率函數(shù)作用，得到混沌隨機(jī)模擬光場(chǎng)在透鏡后表面的復(fù)振幅分布函數(shù)UM2(m，n):

(2)求出原物體信息在透鏡后表面的復(fù)振幅分布函數(shù)U1(m，n)：

(3)對(duì)U1 (m，n)作衍射距離為di的DFD變換，得到原信息在像平面的光強(qiáng)復(fù)振幅分布函數(shù)Ui (m,n)，即恢復(fù)的加密圖像分布函數(shù)：

需要說明的是，恢復(fù)的加密圖像分砸函數(shù)Ui (m，n)-般是復(fù)數(shù)函數(shù)，設(shè)Ui (m，n)的實(shí)部為RUi (m,n)，虛部為IUi(m，n)，則圖像信息可以用復(fù)振幅的模表示：

根據(jù)透鏡成像規(guī)律，由|Ui (m,n)|表示的圖像是原圖像的倒立實(shí)像，做坐標(biāo)對(duì)稱翻轉(zhuǎn)變換即可得到正立圖像vi(m,n)：

式中：m，n=0，1，2，...，N-1。

二、仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中，選擇如下參數(shù)：虛擬光波波長(zhǎng)λ=618 nm，虛擬物距do=1.5 m，虛擬透鏡焦距產(chǎn)25 cm，采樣點(diǎn)數(shù)N=256(即待加密圖像文件大小為256×256)；Logistic混沌系統(tǒng)參數(shù)μ=4，混沌系統(tǒng)初值z(mì)o=0.247，混沌隨機(jī)光場(chǎng)模板到透鏡前表面的衍射距離d=1.5 m，待加密圖像文件為256x256的8位灰度圖像Lena，如圖2(a)所示。

采用Matalab7仿真平臺(tái)，將原始圖像信息映射成[o，1]之間的實(shí)數(shù)表示，即u0(k,l)∈[o，1]。為了提高混沌隨機(jī)模擬光場(chǎng)對(duì)初始值的敏感性，由混沌初值開始先進(jìn)行3 000次預(yù)迭代，再將以后迭代生成的序列作為隨機(jī)模擬光場(chǎng)UM (k,z)，所得隨機(jī)掩碼模擬光場(chǎng)如圖2(b)所示。

圖3(a)和(b)是采用不同衍射距離d所得到的加密圖像文件，當(dāng)混沌隨機(jī)模擬光場(chǎng)模板到透鏡前表面的衍射距離d與物平面到透鏡前表面的衍射距離如相等時(shí)，圖像文件加密后可以隱約看到原圖像的邊緣輪角；而當(dāng)d小于無時(shí)，原圖像文件的邊緣輪廓將在加密圖中逐步消失，且當(dāng)d比d0小得越多時(shí)，圖像文件加密的效果越好。

圖4是解密端采用的參數(shù)(do，f，λ，d，zo)正確，僅λ不正確時(shí)((a)λ誤差0.02 nm，(b)λ誤差0.000 02 nm)，得到的解密結(jié)果圖像。圖5是解密端采用的參數(shù)（(do，f，λ，d，zo)正確，僅f不正確時(shí)((a)f誤差0.2 mm，(b)f誤差0.02 mm)，得到的解密結(jié)果圖像。

圖6是解密端采用的參數(shù)(do，f，λ，d，zo)正確，僅d不正確時(shí)((a)d誤差0.000 8 mm，(b)d誤差0.000 04 mm)，得到的解密結(jié)果圖像。圖7是解密端采用的參數(shù)(do，f，λ，d，zo)正確，僅zo不正確時(shí)((a)z0誤差10-16，(b)zo誤差10-17)，得到的解密結(jié)果圖像。即使數(shù)字化混沌受到計(jì)算機(jī)有限精度實(shí)現(xiàn)的限制使得混沌特性有所損失，但由于采用雙精度實(shí)數(shù)模擬混沌隨機(jī)場(chǎng)，使系統(tǒng)仍然保持對(duì)初值的高度敏感性。實(shí)驗(yàn)證明了這一結(jié)論，只要使解密時(shí)所用的系統(tǒng)初值誤差超過10-17，就不能正確解密。因此，z0密鑰的數(shù)字位數(shù)可達(dá)到16位十進(jìn)制數(shù)字，也就是說，僅z0密鑰空間大小將為1016×1016×1016 =1048≈2159，相當(dāng)于=進(jìn)制159 bit長(zhǎng)的密鑰空間（遠(yuǎn)比128 bit密鑰的DES密碼算法的密鑰長(zhǎng)）。所以，密碼系統(tǒng)足以抵抗現(xiàn)有硬件條件下的強(qiáng)力分析攻擊。

一個(gè)好的加密系統(tǒng)，密文應(yīng)對(duì)密鑰充分敏感，即密鑰的任何微小變化將產(chǎn)生截然不同的密文：也要對(duì)明文充分敏感，即明文的任何微小變化也將產(chǎn)生截然不同的密文。圖8(a)是兩個(gè)密鑰z0相差10-16時(shí)所得加密圖像的差圖；圖8(b)是兩幅原始圖像僅僅第一個(gè)像素的灰度值相差0.1時(shí)，所得加密圖像的差圖。差圖中非全黑點(diǎn)表示兩幅密圖對(duì)應(yīng)位置的像素值不同?？梢娒芪膶?duì)混沌系統(tǒng)初值密鑰和明文是非常敏感的。

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