數(shù)字圖像是目前流行的多媒體信息存儲形式之一，為了滿足圖像信息的安全要求，通常采用加密算法對其進行加密處理。與傳統(tǒng)的加密算法相比，光學信息處理技術不但可將信息隱藏于振幅、相位、波長和偏振方向等光學參數(shù)中。并且具有速度快、并行性高、成本低等優(yōu)點。因此，利用光學信息處理技術進行圖像加密處理逐漸成為研究熱點晴。而光學的圖像加密技術基礎，是一階光學系統(tǒng)在數(shù)學上可用線性正則積分變換（即ABCD變換）來描述。

本文介紹了一種利用Gyrator變換和雙隨機編碼，對灰度圖像進行加密的方法，并介紹了實現(xiàn)Gyratar變換的光學裝置，從實驗結果可以看出Gyrator變換具有良好的加密效果。

一、Gyrator變換原理

1、Gyrator變換定義

Gyrator變換既是傳統(tǒng)傅里葉變換的一種廣義形式，也是線性正則變換的一種特殊形式舟。近年來，Gyrator變換已得到越來越多的關注。其主要應用研究方向目前集中在模式轉換、圖像處理與圖像文件加密等應用方面。

對于二維函數(shù)(xi，yi)，其α階Gynrtor變換的數(shù)學定義為：

其中(xi，yi)為空間頻率坐標（輸入平面坐標），(x0，y0)是空間位置坐標（輸出平面坐標），相當于分數(shù)頻譜面，參數(shù)α為分數(shù)階，也稱為旋轉角。積分變換核函數(shù)定義為：

當α=0時，為恒等變換，即：

當α=π/2時，為坐標旋轉π/2的傅里葉變換，即在頻譜面中坐標x0與y0交換，變換的積分核為：

當α=π/2時，其變換核為δ（xi +xo，Yi +Yo），因此：

當α=3π/2時，為坐標旋轉π/2的傅里葉逆變換，變換核為：

對于其他旋轉角度α，Gyrator變換的核函數(shù)Kα（xi，Yi，x0，Yo）有連續(xù)的振幅和雙曲線相位結構，Gyrator的積分核表示雙曲面波與平面波的積。

2、Gyrator變換的光學實現(xiàn)

Gyrator變換的光學實現(xiàn)裝置如圖1所示。

圖l(a)為Gyrator變換的實驗裝置，其中L1、L2、L3由三個柱面薄透鏡組成，即廣義透鏡(如圖1(b)所示）。圖中透鏡L1和L3完全相同，它們具有相同的焦距f和角度參數(shù)φ。焦距f就等于每兩個相鄰廣義透鏡之間的距離，即f1=f3=z，φ1=φ3，它們的相位調制作用也是一樣的。透鏡L2的f2= Z/2。設φ表示廣義透鏡的變化參斂，兩柱面薄透鏡中心軸與y軸夾角分別為φ1和φ2。則廣義透鏡的位相調制函數(shù)表述為：

其中f為廣義透鏡的焦距，λ為入射光波長，φ為廣義透鏡對稱軸相對于OY軸的位置，φ1和φ2滿足φ1=-φ和φ2=φ-π/2。當φ=o、π/2或π時，相當于廣義透鏡的兩個柱透鏡正交組合，廣義透鏡就退化為普通的球面透鏡，整個系統(tǒng)也隨之變成了有兩個傅里葉變換層疊的4f系統(tǒng)。

Gyrator變換的階次α可通過調節(jié)廣義透鏡的角度φ1和φ2來實現(xiàn)，即α與φ1和φ2的關系為：

3、Gyrator變換的數(shù)值實現(xiàn)

從Gyrator變換的積分定義式(1)出發(fā)，我們可以利用變量代換得到它另外一種形式，代換過程如下：

若假設其中的

則：

從上式我們可以知道．我們需要分兩種情況考慮：

當sinα>0時，上式右邊積分可看成傅里葉變換，F(xiàn)FT實現(xiàn)；

當sinα<0時，上式右邊積分可看成是逆傅里葉變換，用IFFT實現(xiàn)。

Gyrator變換是可逆的，正好實現(xiàn)它的可逆過程。

二、Gyrator變換的圖像文件加密與解密原理

將兩塊統(tǒng)計無關的隨機相位板分別加在Gyrator變換光學實現(xiàn)裝置的輸入平而和輸出平而，分別對待加密圖像F(x，y)的空間信息和頻譜信息做隨機置亂，便可達到加密的目的，在輸出平面上得到平穩(wěn)的白噪聲。

加密過程如圖2所示。設被加密圖像為f(x，y)，首先以f(x，y)乘以一個隨機相位exp[i2πc1（x，y）]，之后進行級次為α1的Gyrator變換，再乘以第二個隨機相位exp[i2πc1(x，y)]，最后進行級次為α2的Gyrator變換，得到加密圖像g(x’，y'）。

圖中f(x，y)表示待加密圖像的復振幅分布，(x，y)表示像空間坐標，c1和c2分別代表兩個在(0，1)之間均勻分布的隨機陣列，GL1和CL2為Gyrator變換光學實現(xiàn)裝置，即三個廣義透鏡，g(x'，y')為加密后白噪聲圖像的復振幅分布。

解密過程如圖3所示。先進行級次為-α2的逆Gyrator變換，之后乘以隨機相位復共軛-exp[i2πc1（u，v）]，再進行-α1級的逆Gyrator變換，最后乘以隨機相位復共軛exp[-i2πc1（x，y）]，得圖像f(x，y)。即圖像被解密。加密解密過程用公式表達為：

由于α1和α2的收值可以有無窮多，兩個隨機相位H(u)=exp[i2πc1（x，y）]、H(v)=[-i2πc1（x，y）]也是未知的，在解密過程中，只有準確地知道α1和α2的值以及兩個隨機相位，才能得到正確的解密結果。所以H(u)和H(v)可用作從加密圖g(x'，y’)恢復成x(x，y)的密鑰。

三、實驗模擬

本文通過MATLAB編稚的方式，完成模擬數(shù)字圖像的Gyrator加密與解密過程。

設α1=1.1，α2=0.7，對待加密原始圖像4進行加密，得到加密圖像如圖5；對加密圖像進行解密得解密圖像如圖6。

將加密圖像圖5乘以錯誤的隨機相位H(u)和H(v)進行解密，所得結果分別如圖7、圖8所示。

將加密圖像圖5乘以錯誤的階數(shù)α1與α2進行解密，所得結果分別如圖9、圖10所示。

由實驗結果可以看出：此算法操作簡單，保密性較好，正確解密還原以后對圖像的破壞也較少，而錯誤解密所得網像根本無法辨別原圖信息。

四、結論

通過對圖像文件的加密、正確解密、錯誤解密縮果觀察分析，可以得到以下結論：

1)加密效果好。

加密后網像與原始圖像相比，差異明顯，已完全掩蓋原有圖像信息。而經過正確解密后的圖像與原始圖像比，差異小、信息破壞少，圖像信息得到了較好的還原。

2)加密安全性高。

由于在圖像加密過程中，圖像要進行階數(shù)分別為α1與α2的兩次Gyrator變換，并乘以兩個隨機相位H(u)和H(v)。而作為圖像解密秘鑰的α1與α2，其秘鑰的空間：怍常大，做Gyralor變換的和的取值也有無窮多種。因此，基于Gyrator變換圖像加密安性能非常好。

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