利用Logistic映射、Henon映射與超混沌M-G系統(tǒng)構(gòu)造了一類嵌套混沌變參映射，并通過Lyapunov指數(shù)證明所構(gòu)造映射產(chǎn)生信號的混沌性，同時分析其相關(guān)性和功率譜特性，然后利用其輸出的混沌信號構(gòu)成圖像加密所需要的符號矩陣和灰度矩陣，與經(jīng)過小波壓縮后的圖像運算，從而完成圖像文件加密。

一、嵌套變參映射構(gòu)造及混沌性分析

Logistic映射是一種單峰的混沌映射，見式（1）：

其中1 .401155<a2表示沿該方向擴展，反之，則是收縮。

因此Lyapunov指數(shù)給出混沌過程對初始條件的敏感依賴性的度量，同時正值的描述了混沌系統(tǒng)相空間混沌吸引子內(nèi)部各個軌線之間的不穩(wěn)定性，研究也證實了在判別一個系統(tǒng)是否存在混沌運動的時候，只要判別其最大Lyapunov指數(shù)是否為正的即可。

對于多維相空間情況下一般有多個正的i值，它的運動情況將會更復(fù)雜，因此就把那些Lyapunov指數(shù)正值比較大，包含正的Lyapunov指數(shù)有兩個正的或者更多正的Lyapunov指數(shù)時的系統(tǒng)稱為超混沌。M-G混沌系統(tǒng)就是一個超混沌系統(tǒng)，但它是一個時滯超混沌系統(tǒng)，而非時滯超混沌系統(tǒng)，它的正的Lyapunov指數(shù)不會超過系統(tǒng)的維數(shù)，如果要產(chǎn)生更復(fù)雜的混沌信號，那必然就要增加系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)從而增加維數(shù)來使系統(tǒng)具有更大的正的Lyapunov指數(shù)，但這種改造對于混沌系統(tǒng)應(yīng)用于信息和保密通信系統(tǒng)往往是代價太大，不實用。

而本文利用的超混沌系統(tǒng)M-G十分簡單，系統(tǒng)正的Lyapunov指數(shù)不受限與系統(tǒng)維數(shù)，它可以產(chǎn)生很多正的Lyapunov指數(shù)，從而產(chǎn)生超混沌信號。

對本文中的B系統(tǒng)分析當(dāng)參數(shù)變化的時候其混沌性。由系統(tǒng)方程可初步分析此系統(tǒng)至少有兩個正的Lyapunov指數(shù)，因為它是一個三維系統(tǒng)，且是兩個混沌系統(tǒng)嵌套而成的。固定參數(shù)b=0.3，利用“伯內(nèi)廷”方法分析當(dāng)a參數(shù)變化時候系統(tǒng)各變量的Lyapunov指數(shù)，可以得到隨參數(shù)變化的指數(shù)譜。

可以看出系統(tǒng)Z變量信號與X變量信號的Lyapunov指數(shù)變化趨勢是大概一致的，這也可以從系統(tǒng)關(guān)于Z變量方程中得知，Z變量是X變量做了非線性運算得到的，故當(dāng)X變量輸出為混沌信號的時候，Z變量也輸出混沌信號，同時從Lyapunov指數(shù)比較而得Z變量的混沌信號比X變量混沌信號的指數(shù)大，因此更加復(fù)雜，而且c參數(shù)的取值只要保證平衡性即可，無特殊要求范圍，因此c的范圍可以很大。另外當(dāng)a取一定的參數(shù)時候，如1.35時候可以使Y變量也輸出混沌信號，那么此時就是一個超混沌系統(tǒng)了，利用這時的系統(tǒng)進行通信系統(tǒng)信息傳輸，保密性將更強。

二、混沌時間序列分析

B系統(tǒng)映射參數(shù)的選取按照如下方式。所構(gòu)造映射中的參數(shù)分別按照M-G系統(tǒng)的Fl00（對應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)p=0.2、m=10、n=0.1）和儼l(fā)0（對應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)p=10、m=10、τ=-2）時間延遲取相應(yīng)M-G系統(tǒng)參數(shù)下其輸出的混沌信號中的值來取，為了仿真方便，這里取相應(yīng)時延內(nèi)的輸出某兩個固定值，F(xiàn)l00對應(yīng)a-1.3，c-2，τ=10對應(yīng)a-l.4，τ-2，然后由嵌套變參映射輸出混沌時間序列。以下圖像加密所用的符號矩陣與灰度矩陣所需要的混沌信號，就由此參數(shù)下的嵌套變參映射輸出信號構(gòu)成。

混沌序列信號不滿足絕對可和與能量可積的條件，但功率譜有限可積，因此可以通過功率譜來研究其頻域特性。周期變量的功率譜呈現(xiàn)分離尖峰結(jié)構(gòu)，尖峰對應(yīng)的頻率之間存在公倍數(shù)；擬周期變量對應(yīng)的各尖峰間無公倍數(shù)現(xiàn)象；混沌和噪聲的功率譜在寬的頻率范圍內(nèi)都呈現(xiàn)出連續(xù)性，因此，若系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)的時候，說明系統(tǒng)具有混沌特征的可能性。因為混沌吸引子內(nèi)部存在很多不穩(wěn)定周期軌道，因此如果若連續(xù)譜中除了顯現(xiàn)噪聲特性外，還具有寬峰譜特性時，那么就是混沌信號的譜。

通過計算，可以發(fā)現(xiàn)映射所輸出序列的自相關(guān)和白噪聲類似，隨機性和互相關(guān)性在取不同參數(shù)的時候，也非常弱。參數(shù)分別選a=1.4和a=1.38，b、c參數(shù)不變化的時候序列的差值信號見圖1 (a)，可見參數(shù)很小的變化輸出序列差別極大，反映了參數(shù)敏感性，因此在圖像與文件加密中有大量的加密數(shù)據(jù)和密鑰可用，且無任何聯(lián)系。圖1 (b)、(c)分別是白噪聲和輸出Z序列的自相關(guān)，可見非常尖銳，證明其類噪聲性質(zhì)。

三、數(shù)字圖像文件加密過程

（1）利用小波包變換的技術(shù)對原始圖像進行壓縮，去除圖像中大量的空間冗余信息，降低圖像數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，可提高信息傳輸?shù)挠行院涂蛊谱g性。圖像矩陣設(shè)為I。

（2）利用嵌套變參混沌映射輸出的實值混沌序列Xn，yn，并利用Xn ,yn生成符號矩陣s和灰度矩陣w，如式(6)0 S(Xk)，W(yk)分別代表符號矩陣和和灰度矩陣?yán)锩娴脑?br /> 素，把這些元素構(gòu)造成和圖像矩陣相同維數(shù)矩陣即可。

（3）灰度置亂矩陣B實現(xiàn)過程：設(shè)圖像矩陣中的元素為I(i，j)，灰度矩陣元素W(m，n)，則灰度置亂矩陣B(p，q)生成如下，見式子(7)：

（4）加密過程：（B+w）．S，既灰度置亂矩陣與由混沌信號構(gòu)造而成的灰度矩陣再相加，然后與符號矩陣相乘即可。

以上加密過程如圖2(a)(b)(c)分別是原圖像、壓縮圖像和加密后圖像，圖2 (d)是當(dāng)生成符號和灰度矩陣的嵌套映射的參數(shù)a相差10-3的時候恢復(fù)的圖像，可見參數(shù)極微
小的變化就不能正確恢復(fù)圖像，原因就是由于在加密的過程中，不但把原圖像的灰度矩陣用混沌信號生成的新矩陣置換了，而且還又和其做了相加運算，可以證明這時候其灰度矩陣元素序列就是混沌信號。經(jīng)過大量圖像加密驗證，證明本加密方法不但實現(xiàn)簡單而且還有很好的抗破譯性。另外本加密方法可用的密鑰可以是系統(tǒng)的參數(shù)a、b、c和確定系統(tǒng)參數(shù)M-G系統(tǒng)的參數(shù)p、111、n與其系統(tǒng)時延共同確定，只要其參數(shù)在能保證輸出混沌特性的參數(shù)變化范圍內(nèi)都是可以的。

解密過程為以上加密的逆向運算。

本文利用了三種混沌系統(tǒng)構(gòu)造了一種嵌套映射，其中Logistic映射、Henon映射相互嵌套構(gòu)造成新的離散系統(tǒng)，系統(tǒng)中參數(shù)變化由超混沌系統(tǒng)M-G系統(tǒng)確定，參數(shù)取某值時間的長短M-G系統(tǒng)的時間延遲來確定，不同的延遲時間內(nèi)又對應(yīng)不同的M-G系統(tǒng)輸出來確定系統(tǒng)這段時間內(nèi)的參數(shù)，所以系統(tǒng)的變化可以非常復(fù)雜。又經(jīng)過Lyapunov指數(shù)方法證明系統(tǒng)在一定的參數(shù)變化范圍內(nèi)的混沌特性，因此當(dāng)通過M-G系統(tǒng)來控制這些系統(tǒng)的參數(shù)變化的時候，系統(tǒng)輸出就可以是變化多樣的混沌信號，如果用其加密所要傳輸?shù)男畔ⅲ到y(tǒng)的抗破譯性非常強。

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