大家都知道，一元樣條最小二乘已在測繪學(xué)的某些方面，如地球物理學(xué)、天體物理學(xué)中得到了較好的應(yīng)用；而二元樣條最小二乘擬合由于計(jì)算上的困難，應(yīng)用還不多。為此，我們今天就給大家介紹一下二元樣條最小二乘擬合的原理及在地圖投影數(shù)據(jù)加密中的應(yīng)用。

一、二元樣條最小二乘擬合的原理

1、二元樣條最小二乘法

給出三維空間上的點(diǎn)列{Pk=(uk,vk,zk)}lk=1，為方便起見，記a=minkuk，b=maxkuk，c=minkvk，d=maxkvk，取張量積型B樣條函數(shù)作為擬合的基函數(shù)。為此，首先對矩形R=[a,b]×[c,d]作分劃△=△x×△y

再把分劃△擴(kuò)充成為：

此時(shí)可對該節(jié)點(diǎn)序列作出B樣條函數(shù)Bt，μ(x)，B_j，v(y)(i=-μ，…，M，j=-v，…，N)。其中，Bi，Λ(x)，B_j，v(y)均是通過類似于以下m次B樣條遞推關(guān)系式求得的。

為方便起見，以下記Bi(x)=Bi，μ(x)，B_j(y)=B_j，μ(y)，因此關(guān)于x為μ次的、關(guān)于y為v次的、關(guān)于分劃△的二元張量積樣條函數(shù)可唯一地表示為：

這樣的二元張量積樣條函數(shù)的全體構(gòu)成的是一個(gè)線性空間S(△)。而二元樣條最小二乘問題就是指在空間S(△)中尋找出合適的s(x,y)，使得：

這實(shí)際上相當(dāng)于求解系數(shù)cij，因此這里必須要求：

1≥(M+μ+1)×(N+v+1)。

下面的定理回答了當(dāng)節(jié)點(diǎn)和數(shù)據(jù)點(diǎn)之間滿足何種關(guān)系時(shí)，極小化問題(1)存在唯一解的問題。

定理_記矩形小區(qū)域Rij={(x,y)|x-μ+i<x<xi+1,y-v+j<y<yj+1}，則極小化問題(1)存在唯一解的充分必要條件是：對1≤ij≤l且兩兩不相同的點(diǎn)列Pij有：

(i=0,1,…,M+μ,j=0,1,…,N+v)成立。當(dāng)l=(M+Λ+1)×(N+v+1)，并且定理中的條件(2)滿足時(shí)，最小二乘法具有插值法的自適應(yīng)性，因此就得到了矩形域R上的一般插值樣條函數(shù)，但它顯然又比一般插值樣條插值點(diǎn)的分布要靈活得多。

2、 二元樣條最小二乘問題的求解

下面針對已知點(diǎn)為網(wǎng)格點(diǎn)列{(uΑ,vΒ,zΑΒ)}m,nΑ=1,Β=1的情形，在定理1的條件得到保證的情況下，推導(dǎo)具體的計(jì)算步驟。記：

為求解極值問題(1)，令：

整理后得到以下線性方程組：

直接對方程組(4)求解將是十分復(fù)雜和不可取的，因?yàn)樾枰蠼庖粋€(gè)(M+μ+1)×(N+v+1)階的代數(shù)方程組，特別當(dāng)M和N都很大時(shí)，計(jì)算量相當(dāng)大。為此引入陣列代數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算，并且引入以下記號(hào)：

則(4)式可寫為：

故：

可以容易看出，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)階數(shù)分別為M+μ+1和N+v+1的矩陣的求逆問題，從而大大簡化了計(jì)算。

二、二元樣條最小二乘在地圖投影數(shù)據(jù)加密中的應(yīng)用

數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)處理、地圖制作等工作中常常需要對數(shù)據(jù)文件加密。通常用的二元代數(shù)多項(xiàng)式加密方法受到點(diǎn)數(shù)的限制，由于乘積型雙三次等距B樣條插值函數(shù)，該方法不受點(diǎn)數(shù)據(jù)的限制，可以加密較大范圍內(nèi)任意點(diǎn)的坐標(biāo)值，試算的結(jié)果也表明有較好的精確性。但由于采用的是3次基本等距B樣條函數(shù)，并且要求數(shù)據(jù)點(diǎn)是等距分布的，這在應(yīng)用上具有一定的局限性，而二元樣條最小二乘法則不存在這樣的限制。

在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，通常采用3次B樣條函數(shù)，分劃的內(nèi)節(jié)點(diǎn)則取為固定的情形，特別地，可取：

擴(kuò)充分劃時(shí)，令：

而對矩陣求逆時(shí)，應(yīng)采用選主元技術(shù)，以保證結(jié)果的精確性。

對表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行加密運(yùn)算。取由(Υ,Κ)決定的不等距網(wǎng)格點(diǎn)為已知點(diǎn)列，其中Υ=0,4,6,12,16,22,26,Κ=0,2,8,12,20,22,26。按前面給出的算法，為使最小二乘法具有插值法的自適應(yīng)性，取M=N=3，可求得樣條最小二乘函數(shù)s(x,y)，進(jìn)而可計(jì)算出矩形域R=[0,26]×[0,26]上任意點(diǎn)處的坐標(biāo)值。這里我們把已知數(shù)據(jù)加密成經(jīng)、緯度間隔均為2°的網(wǎng)格點(diǎn)列。表1是部分試算結(jié)果。

試算結(jié)果與原數(shù)據(jù)進(jìn)行比較可知，在得到的196個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)中，僅有10個(gè)點(diǎn)處的坐標(biāo)誤差超過了0.001，而最大的誤差值為0.0014。結(jié)果表明，二元樣條最小二乘擬合的數(shù)值逼近程度很好，完全能夠滿足制圖中對數(shù)據(jù)精度的要求。

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