基于變參數(shù)的復(fù)合混沌系統(tǒng)，我們結(jié)合一維Logistic映射和三維混沌系統(tǒng)（ Chen System），提出了一種基于變參數(shù)混沌的圖像加密算法，通過(guò)構(gòu)造一種非線性耦合函數(shù)來(lái)對(duì)明文像素點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行置亂和像素灰度變換，并根據(jù)由明文信息產(chǎn)生的密鑰來(lái)對(duì)每輪置亂后的像素點(diǎn)采用不同方式進(jìn)行圖像文件加密。

一、_基于復(fù)合混沌系統(tǒng)變參數(shù)圖像加密算法原理

1、 Logistic混沌映射

Logistic混沌映射是一種非線性混沌系統(tǒng)，其定義如下：

式中：μ為系統(tǒng)參數(shù)；w0∈（0，1）．當(dāng)3.569 94....≤μ≤4時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2、三維混沌系統(tǒng)

當(dāng)a=35，b=3，C∈ [20，28.4]時(shí)，式（2）存在混沌吸引子，系統(tǒng)可以處于混沌狀態(tài)，本文取系統(tǒng)初值x0，yo，zo為密鑰，積分步長(zhǎng)t=0.001，生成序列{ Xk，yk，zk}。其時(shí)域圖如圖1所示。

二、基于復(fù)合混沌系統(tǒng)變參數(shù)圖像加密算法思想

首先利用Logistic映射迭代選出其加密所需的系統(tǒng)參數(shù)值，然后結(jié)合三維混沌系統(tǒng)構(gòu)造一種非線性耦合函數(shù)并對(duì)明文同時(shí)進(jìn)行像素置亂和灰度變換，設(shè)明文圖像的大小為M×N。

1、_基于復(fù)合混沌系統(tǒng)變參數(shù)圖像加密算法設(shè)計(jì)

首先，給定兩個(gè)參數(shù)μ1，μ2，迭代式（1）（[（wo ×（M+N））+100]）次，定義參數(shù)選擇函數(shù)，即：

可得到其中之一為所選參數(shù)，令其為置亂步驟中所用式（1）的參數(shù)，則另一個(gè)為灰度變換步驟中所用式（1）的參數(shù)。設(shè)圖像的像素點(diǎn)坐標(biāo)為（i，j），對(duì)應(yīng)的像素值為I（i，j），設(shè)計(jì)圖像特征密鑰，并構(gòu)造耦合函數(shù)如下：

由函數(shù)S（k）可設(shè)計(jì)置亂變換為：

其中，加密時(shí)以先行后列的順序遍歷圖像的每個(gè)像素點(diǎn)，在上述置亂系統(tǒng)中，（i，j）為原像素點(diǎn)位置坐標(biāo)，（i'，j’）為置亂后的該點(diǎn)的位置坐標(biāo)。

對(duì)每一次置亂后的明文像素點(diǎn)，采取下述的方式進(jìn)行灰度值變換處理，即：

這里C（i，j）和C（i '，j'）為像素點(diǎn)置亂后的灰度替代值。

2、基于復(fù)合混沌系統(tǒng)變參數(shù)圖像加密算法步驟

步驟1 根據(jù)Logistic混沌映射選取置亂和灰度變換過(guò)程中的系統(tǒng)參數(shù)。

步驟2 遍歷明文，設(shè)計(jì)加密算法所需密鑰T。

步驟3 根據(jù)Logistic混沌映射和三維混沌產(chǎn)生的多維混沌序列構(gòu)造一個(gè)非線性耦合函數(shù)。

步驟4根據(jù)設(shè)計(jì)的耦合函數(shù)以及式（5）對(duì)明文像素點(diǎn)進(jìn)行置亂。

步驟5 對(duì)每一次置亂后的像素點(diǎn)根據(jù)（6）式進(jìn)行灰度值替代。

步驟6 重復(fù)步驟4和5直至遍歷整個(gè)明文圖像。

步驟7 完成一輪加密操作，并根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行多輪加密。

解密算法即為加密的逆過(guò)程，計(jì)算密鑰并構(gòu)造出耦合函數(shù)S（k），并根據(jù)式（5）和（6）對(duì)密文反解即可進(jìn)行正確解密，得到明文圖像。

三、仿真實(shí)驗(yàn)及安全性分析

一個(gè)安全的算法可以有效抵御各種攻擊，如窮舉攻擊、統(tǒng)計(jì)攻擊等，本文以MATLAB 7.1為平臺(tái)，對(duì)該加密算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中，以大小為256像素×256像素的Lena標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像作為明文圖像，設(shè)初始密鑰wo =0. 498 76，xo=13. 188，yo=11. 223，zo =0.1。

圖2（a）為L(zhǎng)ena原圖像，圖2（b）為加密后的Lena圖像，圖2（c）和圖2（d）分別為明文和密文所對(duì)應(yīng)的直方圖，仿真實(shí)驗(yàn)表明，加密前后的圖像與直方圖有著很大差別，密文已經(jīng)隱藏了原圖像的人物輪廓，沒(méi)有透露出明文圖像的任何信息，這表明本文所采用的混沌序列具有良好的偽隨機(jī)性和復(fù)雜性，從而保證了密文直方圖分布均勻，可抵抗相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)攻擊。

1、 密鑰空間分析

一個(gè)好的加密方案應(yīng)該具有足夠大的密鑰空間，從而使得窮舉攻擊變得不可行，本文算法密鑰由wo，xo，yo，zo構(gòu)成，設(shè)每個(gè)混沌系統(tǒng)的初值均有16位有效數(shù)字，則密鑰空間為1016 ×4= 1064。此外，明文信息密鑰丁亦作為密鑰保管，因此，算法具有足夠大的密鑰空間，使得窮舉攻擊變得不可能。

2、 密鑰敏感性分析

為了測(cè)試該算法的密鑰敏感性，現(xiàn)將其中的一個(gè)密鑰進(jìn)行微小的改動(dòng)（ 10 -16），如令wo=0. 498 700 000 000 001，其余密鑰保持不變，并對(duì)密文進(jìn)行解密，加密解密圖如圖3所示。

由實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)對(duì)密鑰初值進(jìn)行微小擾動(dòng)后，便無(wú)法正確解密出明文圖像，而解密出的圖像也與原始明文有著很大差別，這說(shuō)明該算法具有較高的密鑰敏感性。因此，該算法可以有效地抵御敏感性攻擊，并具有很好的安全性和實(shí)用性。

3、 像素相關(guān)性分析

一幅圖像由于需要顯示出一定的信息，因此，其像素之間有很大的關(guān)聯(lián)，而一個(gè)好的算法便會(huì)降低這些相關(guān)性，從而達(dá)到可以抵御統(tǒng)計(jì)攻擊，為了測(cè)試明文圖像經(jīng)本文算法加密后的像素點(diǎn)的水平、垂直以及對(duì)角方向的相關(guān)性，從明文圖像和密文圖像中隨機(jī)選取1 000對(duì)像素對(duì)，并根據(jù)式（7）進(jìn)行計(jì)算像素相關(guān)性系數(shù)，即：

式中：；x，y分別表示相鄰2個(gè)像素的灰度值，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖4顯示了明文與密文水平方向相關(guān)性，通過(guò)對(duì)比圖4（a）和圖4（b），明顯可見(jiàn)，密文中相鄰像素間的相關(guān)性呈隨機(jī)對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)比表1可知，加密后的圖像的相關(guān)系數(shù)都趨近于0，相關(guān)性遠(yuǎn)小于原始明文圖像，明文信息已很好地?cái)U(kuò)散到密文之中，這說(shuō)明本文復(fù)合混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列具有較好的偽隨機(jī)性。因此，該算法具有較強(qiáng)的抗統(tǒng)計(jì)分析能力。

4、差分攻擊分析

密碼攻擊者經(jīng)常利用差分攻擊尋找明文和密文之間的關(guān)系，通過(guò)改變明文的一個(gè)像素點(diǎn)來(lái)觀察密文的變化，進(jìn)而進(jìn)行破解密文，設(shè)位置為（i，j）的像素點(diǎn)的灰度值為C1（i，j）和C2（i，j）。定義一個(gè)二值矩陣D，見(jiàn)式（8）。

它和C1與C2，有相同的大小，若C1（i，j）=C2（i，j），則D（i，j）=0；否則D（i，j）=1．為了測(cè)試本文算法是否可以有效地抵御差分攻擊，分別根據(jù)式（9）和式（10）測(cè)試NPCR（像素變化率）和UACI（歸一化平均變化強(qiáng)度）2個(gè)值，差分攻擊分析結(jié)果如表2所示。

通過(guò)對(duì)本文算法差分攻擊結(jié)果可知，本文加密算法僅需一輪加密即可達(dá)到理想值（NPCR >0. 996，UACI>0.334）。這說(shuō)明，本文算法對(duì)明文信息更敏感，算法安全性與明文相關(guān)程度
更高，因而可以有效地抵御差分攻擊，具有更高的安全性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

5、 算法時(shí)間復(fù)雜度分析

為了測(cè)試所提算法的算法時(shí)間復(fù)雜度，本文以Matlab 7.1為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)加密算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

由表3可知，本文加密算法的加密時(shí)間更短，加密速度更快，效率更高；因此，本文加密算法具有更廣的應(yīng)用前景以及更高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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