鑒于傳統(tǒng)圖像加密技術(shù)和低維混沌加密技術(shù)各有其局限性，我們提出了一種利用Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，并結(jié)合混沌鏡像加密方法的三維超混沌圖像加密方法。

一、三維Lorenz混沌系統(tǒng)

1、Lorenz系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)是經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)，以Lorenz系統(tǒng)生成加密混沌序列的優(yōu)點(diǎn)在于：一是其結(jié)構(gòu)較低維混沌系統(tǒng)復(fù)雜，產(chǎn)生的實(shí)數(shù)值序列更不可預(yù)測(cè)；二是系統(tǒng)的三個(gè)初始值和三個(gè)參數(shù)都可以作為生成加密混沌序列的種子密鑰，產(chǎn)生的密鑰空間大大高于低維混沌系統(tǒng)；三是對(duì)系統(tǒng)輸出的實(shí)值混沌序列進(jìn)行處理，可采用單變量或多變量組合的加密混沌序列，這樣序列密碼的設(shè)計(jì)更靈活。

Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程式為：

式（1）中，β，σ_，x為系統(tǒng)參數(shù)，典型的值為β=8/3，σ=10，x=28，在保持β，σ不變，x>24.74時(shí)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。可用數(shù)值積分來(lái)求解微分方程（1）。采用4階Runge-Kutta法進(jìn)行求解，步長(zhǎng)為0.01，得到隨機(jī)性良好的數(shù)值序列x(n)，n為數(shù)值積分算法的循環(huán)次數(shù)。Lorenz是三維混沌系統(tǒng)，所以得到的x(n)是一個(gè)三維的實(shí)值數(shù)組，有x1，x2，x3三個(gè)分量。

2、生成二進(jìn)制序列

首先我們對(duì)Lorenz微分方程產(chǎn)生的實(shí)值序列進(jìn)行處理，抽取二進(jìn)制序列用于圖像加密。定義一個(gè)量化處理的符號(hào)函數(shù)：

其中閾值a選取x（k）的平均值。量化后得到一個(gè)三維的二進(jìn)制混沌序列：

量化處理是一個(gè)不可逆的過(guò)程，處理后的混沌序列中不包含原混沌系統(tǒng)的信息，因此利用混沌時(shí)間序列進(jìn)行分析的攻擊方法失敗。

經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，下面對(duì)二進(jìn)制序列性能進(jìn)行分析：

（1）頻數(shù)檢驗(yàn)，用來(lái)測(cè)試序列中是否有大致相同數(shù)量的0、1，小于閾值則通過(guò)檢驗(yàn)。

（2）序列檢驗(yàn)，用來(lái)檢驗(yàn)序列中出現(xiàn)的相同或不相同的相鄰元素的概率，小于閾值則通過(guò)檢驗(yàn)。經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，序列通過(guò)了顯著水平為5%的頻數(shù)檢驗(yàn)、序列檢驗(yàn)，由此可以證明二進(jìn)制序列的隨機(jī)性。如表1所示。

二、改進(jìn)的鏡像變換

鏡像變換是一種十分簡(jiǎn)單的圖像加密方法?；煦珑R像加密算法是利用圖像數(shù)據(jù)的點(diǎn)陣特征，由密鑰產(chǎn)生混沌序列對(duì)圖像進(jìn)行加密的空間域算法。

對(duì)大小為M*N的灰度圖像，定義I（x，y）為圖像在（x，y）位置的灰度值，其中x#[1，M]y#[1，N]。定義置換操作swap（I（a，b），I（c，d））交換I（a，b）和I（c，d）。是否執(zhí)行swap操作由密鑰產(chǎn)生的混沌序列b（i）決定。圖1所示的是一種簡(jiǎn)單的鏡像變換。

模式1中為swap（I（，ij），I（，ij+N/2）），模式2中為sawp（I（，ij），I（i+M/2，j））?？梢宰C明運(yùn)用混沌二值序列結(jié)合鏡像加密的算法，可能的加密結(jié)果有21/2*M*N。例如模式一中有1/2*M*N個(gè)鏡像點(diǎn)，每個(gè)鏡像點(diǎn)是否置換又有兩種可能性，所以可能的加密結(jié)果有21/2*M*N種。

圖像進(jìn)行鏡像變換的關(guān)鍵在于鏡子的位置。鏡子可以水平放置，也可以垂直放置。當(dāng)鏡子水平放置時(shí)，同一列內(nèi)的象素進(jìn)行變換，當(dāng)鏡子垂直放置時(shí)，同一行內(nèi)的象素進(jìn)行變換。該文的算法采用移動(dòng)鏡子的位置，并以數(shù)w，q代替N/2，M/2，以加強(qiáng)變換的效果。

例如swap（I（，ij），I（mod（95+，i256）+1，j）），mod（，ij）為求模運(yùn)算。若b（1）=1執(zhí)行swap操作，這樣I（1，1）與I（96，1）交換了位置。若b（96）=1執(zhí)行swap操作，I（96，1）與I（195，1）互換位置，這樣增加了置換復(fù)雜度，有效避免了變換的規(guī)律可循。選擇w須考慮到避免循環(huán)的出現(xiàn)，避免I（，ij）經(jīng)過(guò)一系列的變換后回到原位置的可能性。算法考慮的鏡像點(diǎn)為M*N個(gè)，可能加密結(jié)果為2M*N。

由于Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的是三維的混沌序列，單純利用其中的一維進(jìn)行加密，加密的效果并不理想。如何利用三維的混沌序列加密二維的圖像矩陣成為該文所解決的問(wèn)題關(guān)鍵?？梢钥紤]將二維的矩陣變?yōu)槿S數(shù)據(jù)，如圖2所示。

對(duì)于圖像來(lái)說(shuō)很容易實(shí)現(xiàn)，只需將M*N的圖像分塊，將分塊的索引排列即可形成三維的數(shù)組數(shù)據(jù)。將256*256的圖像分成1024個(gè)8*8的塊，按照i=1，2，3__1024編號(hào)圖像塊的索引，并排列塊。加密時(shí)在x1軸方向和x2軸方向上按上述的鏡像加密規(guī)則變換，在x3軸上方法類似，只是改為對(duì)塊進(jìn)行操作。為保證加密效果，在x1軸和x2軸上仍對(duì)M*N的整個(gè)二維平面圖像操作，而不是對(duì)塊內(nèi)進(jìn)行鏡像變換。經(jīng)過(guò)x1軸x2軸x3軸三個(gè)方向的立體變換，象素置亂的范圍較大，可有效抵抗基于統(tǒng)計(jì)的攻擊。

三、基于Lorenz三維超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法

基于上面介紹的鏡像變換和三維超混沌Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列，我們提出如下的混沌圖像加密算法。

圖像加密算法:

（1）輸入密鑰x0={1.1840;1.3627;1.2519}由Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生三維的混沌的實(shí)值序列x（n），n為迭代次數(shù)。

（2）實(shí)值混沌序列預(yù)處理。用量化處理的符號(hào)函數(shù)（2）經(jīng)過(guò)量化處理后得到二進(jìn)制偽隨機(jī)序列b（k），k=1，2，3，...n。同樣b（k）也是一個(gè)三維的數(shù)組。

（3）讀入256*256標(biāo)準(zhǔn)的lena灰度圖作為待加密的圖像。開(kāi)始如下變換：

*在x1軸的方向上進(jìn)行變換，若b1（i）=1則將I（，ij）與I（mod（w+，i256）+1，j）互換，否則不變。

*在x2軸的方向上進(jìn)行變換，若b2（i）=1則將I（，ji）與I（，jmod（q+，i256）+1）互換，否則不變。

*在x3軸的方向上進(jìn)行變換，若b3（i）=1則將第i塊和第（mod（r+，i1024）+1）塊互換，否則不變。整數(shù)w，q，r的選取不能使變換的位置重復(fù)。算法實(shí)現(xiàn)中令w=18，q=89，r=105。

（4）輸出加密后的圖像，并在網(wǎng)絡(luò)中傳輸。將密鑰x0通過(guò)安全的可信賴信道傳輸。

圖像解密算法為圖像加密算法的逆過(guò)程，圖像解密算法:

（1）輸入解密密鑰，由Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生三維的混沌實(shí)值序列x（n）。

（2）實(shí)值混沌序列預(yù)處理。用量化處理的符號(hào)函數(shù)（2）經(jīng)過(guò)量化處理后得到二進(jìn)制偽隨機(jī)序列b（k），k=1，2，3，...n。

（3）讀入待解密的圖像。開(kāi)始如下變換:

*在x3軸的方向上進(jìn)行變換，若b3（i）=1則將第i塊和第（mod（r+，i1024）+1）塊互換，否則不變。

*在x2軸的方向上進(jìn)行變換，若b2（i）=1則將I（，ji）與I（，jmod（q+，i256）+1）互換，否則不變。

*在x1軸的方向上進(jìn)行變換，若b1（i）=1則將I（，ij）與I（mod（w+，i256）+1，j）互換，否則不變。

（4）得到解密后的圖像，密鑰正確即可恢復(fù)出原圖像。密鑰錯(cuò)誤，則無(wú)法正確解密。

四、實(shí)驗(yàn)和結(jié)論

這節(jié)將驗(yàn)證以上提出的基于三維Lorenz系統(tǒng)和鏡像變換的加密算法的有效性，并進(jìn)行安全分析。我們對(duì)256*256的lena圖像文件加密，如圖3中的a所示。輸入密鑰{1.1840;1.3627;1.2519}后得到的密圖如圖3中的b所示，若用錯(cuò)誤密鑰{1.1841;1.3627;1.2519}解密后的圖像為圖3中的c所示。d為正確解密后恢復(fù)的原圖。由此可見(jiàn)，即使是密鑰中的一維有微小的變化，也不能正確解密出原圖。圖3中的e，f分別為對(duì)原圖像和加密后的圖像上同一位置的線段上各個(gè)象素灰度值的分布顯示。由此可見(jiàn)，加密后將原圖的灰度值分布得更均勻更隨機(jī)。由上面的算法分析可知，對(duì)于M*N的圖像加密后，可能的加密結(jié)果為22*M*N+1024。該算法可以有效抵抗基于統(tǒng)計(jì)的攻擊和利用混沌時(shí)間序列進(jìn)行分析的攻擊方法。且算法不必利用混沌序列生成置換矩陣，只須將實(shí)值混沌序列轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的混沌序列，預(yù)處理的時(shí)間短。

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