隨著分?jǐn)?shù)階傅里葉變換引入到光學(xué)系統(tǒng)月以后，人們開(kāi)始利用混沌及分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的相關(guān)特性對(duì)圖像進(jìn)行加密方面的研究。有人利用非對(duì)稱雙隨機(jī)相位對(duì)圖像進(jìn)行加密，也有人使用G-S相位恢復(fù)對(duì)兩幅圖像加密，然而，當(dāng)反變換與正變換階數(shù)都接近時(shí)，能看到原圖像的部分輪廓信息，安全性不高；為此，又有人采用了圖像空間域混沌置亂和頻率域分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像雙重加密，進(jìn)一步增強(qiáng)了安全性，擴(kuò)大了密鑰空間，但加密圖像系數(shù)分布均勻性不好，魯棒性不強(qiáng)。針對(duì)這些不足，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種基于FRFT和混沌的圖像加密算法。

一、二維離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

FRFT可以解釋為信號(hào)在時(shí)頻平面內(nèi)坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度后構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階Fourier域上的表示方法，是Fourier變換的一種廣義形式。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換是傅里葉變換的廣義形式，它表示信號(hào)從時(shí)間域到頻率域變化過(guò)程中信號(hào)所呈現(xiàn)的特征。

對(duì)一維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行推廣，可以得到高維的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。這里簡(jiǎn)單介紹用于灰度圖像加密的二維離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換核為：

其中，α＝p1π/2，β=p2π/2，表示信號(hào)通過(guò)二維傅里葉變換后的旋轉(zhuǎn)角度。應(yīng)用二維傅里葉變換核Kp1,p2(s,t,u,v)，在變換階數(shù)p1和p2給定的情況下，信號(hào)f(s,t)的二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義為：

因?yàn)槎S分?jǐn)?shù)階傅里葉變換核是可分離的，即：

二維離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和逆變換定義為：

二、圖像加密算法

1、混沌方程

混沌運(yùn)動(dòng)具有通常確定性運(yùn)動(dòng)所沒(méi)有的幾何和統(tǒng)計(jì)特征，如局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定，無(wú)限自相似，連續(xù)功率譜，奇怪吸引子，分維，正的Lyapunov指數(shù)等。為了與其他復(fù)雜現(xiàn)象相區(qū)別，一般認(rèn)為混沌系統(tǒng)具備隨機(jī)性和初值敏感性特征。Logistic混沌映射是一個(gè)源于人口統(tǒng)計(jì)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程為：

其中xn為映射變量，μ為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)3.5699…<μ<4時(shí)，根據(jù)Lyapunov指數(shù)(λ>0)可以知道該映射處于混沌狀態(tài)，3.57<μ<4稱為混沌區(qū)域，其中x0∈(0,1)，這樣的Logistic映射定義在(0，1)上。

由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性和隨機(jī)性，在給定初值和系統(tǒng)參數(shù)后，由混沌動(dòng)力學(xué)方程對(duì)映射變量經(jīng)行迭代，而最終結(jié)果成混沌狀態(tài)，這個(gè)特性在圖像加密領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

2、加密算法概述

本文的加密算法主要由灰度值異或置亂、二維離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和混沌置亂三個(gè)步驟組成，因此有三組密鑰共同控制，實(shí)現(xiàn)三次加密，具體算法框圖如圖所示。

本文加密算法可詳細(xì)的描述為四步。

第一步生成種子密圖：設(shè)待加密圖像f(x,y)大小為M×N，第一步給定x1，μ1，通過(guò)logistic混沌方程生成一個(gè)M×N長(zhǎng)度的混沌序列，將對(duì)序列數(shù)值映射到0-255區(qū)間，并排列成為一個(gè)M×N大小的混沌圖像S(x,y)。

第二步將待加密圖與種子密圖經(jīng)行灰度值異或置亂，詳細(xì)算法如下：首先將S(x,y)大小擴(kuò)展為(M+2)×(N+2)，并將擴(kuò)展位置補(bǔ)零，得到S′(x,y)；其次將f(x,y)在x，y處的灰度值分別與S′(x,y)在該處位置的鄰域八個(gè)像素點(diǎn)的灰度值做二進(jìn)制按位異或運(yùn)算；最后設(shè)有一個(gè)八位寄存器Q，將f(x,y)茌S′(x-1,y-1)結(jié)果的第一位放入Q7，f(x,y)茌S′(x-1,y)結(jié)果的第二位放入Q6，f(x,y)茌S′(x-1,y+1)結(jié)果的第三位放入Q5，以此類推，寄存器Q內(nèi)數(shù)據(jù)的十進(jìn)制作為第一步加密得到的密圖y(x,y)在x，y處的灰度值。如圖所示：

第三步，給定p1，p2對(duì)y(x,y)做二維非對(duì)稱DFRFT，得到y(tǒng)′(x,y)。

第四步，給定x2，μ2，由混沌方程生成混沌序列，對(duì)y′(x,y)的變換系數(shù)做混沌置亂，最終得到E(x,y)。

三、加密算法仿真及結(jié)果分析

現(xiàn)選取大小為512*512灰度圖像“l(fā)ena.tif”，在MATLAB7.0中對(duì)本文加密算法進(jìn)行仿真，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行一系列的分析。選取二維DFRFT變換階數(shù)p1=0.84，p2=0.63，兩次混沌方程的初值x0和μ分別為經(jīng)x1＝0.13679275416，μ1=3.87654，x2=0.13689258527，μ2=3.96945，對(duì)原始圖像文件加密后，效果見(jiàn)圖。

1、統(tǒng)計(jì)特性分析

下圖所示為圖像加密前后的灰度直方圖，由下圖可以看出，明文圖像的統(tǒng)計(jì)特性被完全打亂，在一次加密時(shí)，明文灰度值通過(guò)與混沌圖片進(jìn)行異或置亂后，在0-255的區(qū)間內(nèi)的灰度值出現(xiàn)概率完全打亂，灰度直方圖變的平坦。經(jīng)過(guò)第二次加密，二維DFRFT將置亂后的密文映射到變換域，由于階數(shù)的變化，空域信息不同程度的擴(kuò)散到頻域。然而由于DFRFT的時(shí)頻效應(yīng)，依然有些系數(shù)帶有空域信息，因此，通過(guò)第三次混沌置亂將系數(shù)打亂，使得空頻域信息完全掩蓋。

當(dāng)作為密鑰之一的DFRFT變換階數(shù)與正確密鑰階數(shù)誤差打到0.02甚至更高時(shí)，錯(cuò)誤解密圖像與原始圖像有足夠大的MSE，換言之，無(wú)法辨別出原始圖像。同樣通過(guò)雙階數(shù)偏差的相關(guān)性，可知兩個(gè)階數(shù)同時(shí)正確，才能使得解密圖像與明文圖像達(dá)到最大的相關(guān)性。明文圖像鄰域內(nèi)像素之間的性很強(qiáng)，而在加密后的自相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中可見(jiàn)鄰域內(nèi)像素間相關(guān)性極小。本算法將明文信息很好的進(jìn)行了擴(kuò)散和混淆，具有很強(qiáng)的去相關(guān)能力，對(duì)于統(tǒng)計(jì)特性破解有著很好的抵抗力。

2、加密算法安全性分析

從密碼學(xué)角度分析本文算法的密鑰空間，并考慮仿真環(huán)境MATLAB7.0的計(jì)算精度，現(xiàn)取8字節(jié)，15位有效數(shù)字經(jīng)行分析：

在兼顧較大的MSE和相關(guān)性，階數(shù)偏差最小達(dá)到1.0×102級(jí)別，則｜pi｜≈1.0×102；由于混沌系統(tǒng)對(duì)于初值和混沌區(qū)域μ值的敏感性，則密鑰空間表示為：

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)xi對(duì)小數(shù)點(diǎn)后14位，μi對(duì)小數(shù)點(diǎn)后6位依然敏感，即：

其中｜·｜表示勢(shì)。因此總密鑰空間為：

設(shè)破解一次需要1秒，則窮舉暴力破解最長(zhǎng)時(shí)間共需要：

3、算法魯棒性分析

下圖是分別對(duì)通過(guò)本文算法加密后的密文進(jìn)行面積12.5%和25%的遮蓋或剪裁的效果圖，遮蓋或剪裁后使用正確密鑰經(jīng)行解密，仍然可以清晰的恢復(fù)出明文圖像，因此該算法對(duì)遮擋或者剪裁這樣的攻擊具有一定的抵抗性。

將明文重新加密，對(duì)得到的密文加入方差為1，密度0.01的高斯噪聲，通過(guò)正確密鑰解密后，能夠很好的恢復(fù)出明文信息，該算法也具有一定的抗噪能力。

本文利用DFRFT和混沌序列的特性，設(shè)計(jì)了一種圖像加密算法，對(duì)算法進(jìn)行了仿真，并討論了算法的安全性。仿真結(jié)果表明，該算法密鑰敏感度高，具有很大的密鑰空間，抗窮舉破解能力強(qiáng)。同時(shí)，對(duì)于密文在傳輸過(guò)程中的攜帶噪聲，或者數(shù)據(jù)破損，依然具有恢復(fù)能力，算法魯棒性較好。

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