圖像分存是圖像信息安全保護(hù)中的重要內(nèi)容，已得到了廣泛的應(yīng)用。基于Arnold變換的圖像分存加密方法，它是將原圖像像素置亂擴(kuò)散并分解成兩幅分存圖像，其Arnold變換的參數(shù)由Logistic混沌映射產(chǎn)生，圖像分存結(jié)果的安全性受到外部密鑰和原圖像信息共同控制，能夠抵抗諸如選擇性明文、差分等攻擊。

一、混沌映射

混沌系統(tǒng)是非線性動(dòng)力系統(tǒng)中出現(xiàn)的具有確定性、類似隨機(jī)的過(guò)程，既非周期又不收斂，并且對(duì)初始值有極其敏感的依賴性。圖像信息安全中常用的混沌映射有Logistic映射，Arnold變換和Henon映射等。本文選取Logistic映射和Arnold變換實(shí)現(xiàn)圖像分存加密。

1、Logistic映射

一類非常簡(jiǎn)單卻被廣泛研究的動(dòng)力系統(tǒng)是Logistic映射，其典型定義式為：

_xn+1=μx_n（1－x_n）

其中：0≤μ≤4稱為分支參數(shù)，x_n∈（0，1）?；煦鐒?dòng)力系統(tǒng)的研究表明：

當(dāng)0＜μ≤3．569945時(shí)，該動(dòng)力系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)分叉產(chǎn)生倍周期；

當(dāng)3．569945＜μ≤4時(shí)，該動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，由初始條件xn在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列｛x_n|n=0，1，…｝非周期、不收斂，且對(duì)初始值非常敏感。

2、Arnold變換

Arnold變換是Arnold在遍歷理論研究中提出的一種變換，是典型的混沌系統(tǒng)。Arnold變換實(shí)際上是一種點(diǎn)的位置移動(dòng)，并且這種變換是一一對(duì)應(yīng)的。根據(jù)所選擇相位空間的不同可分為二維、三維、四維直至F維的Arnold變換。常用的二維離散Arnold變換可描述為：

其中：x_n和y_n為變換前的值，x_n+1和y_n+1為變換后的值。需要注意的是，Arnold變換具有周期性，即當(dāng)?shù)侥骋徊綍r(shí)，將重新得到原始數(shù)據(jù)。Dyson和Falk分析了離散Arnold變換的周期性，給出了對(duì)于任意F＞2，Arnold變換的周期為T(mén)F≤F2/2，并對(duì)部分的最小周期證明了P（F）≤12×F/7。考慮到固定參數(shù)Arnold變換的安全性僅與變換輪數(shù)有關(guān)，缺乏圖像文件加密的靈活性和安全性，于是提出了變參數(shù)二維離散Arnold變換，其方程如下:

將變參數(shù)的Arnold變換推廣到三維，其變換如下：

其中：

A_x、Ay、Az、Bx、By、Bz都是正整數(shù)，并且det（AHQ）=1

二、Arnold變換參數(shù)的選取

根據(jù)圖像的類型選定有限域GF（2^t），其中t為正整數(shù)（本文t=8）。Arnold變換的參數(shù)及輪數(shù)取值于Logistic映射生成的離散混沌序列，考慮到分存加密過(guò)程在模256內(nèi)進(jìn)行，因此Arnold變換的參數(shù)取1～255的整數(shù)。其詳細(xì)步驟如下：

第1步用Logistic映射x_n+1=μx_n（1－x_n）產(chǎn)生一維混沌實(shí)數(shù)序列｛x_n|x_n∈（0，1）｝，其中3．569945…＜μ≤4。

第2步如果（w+1）/257≤x_n＜（w+2）/257，則x_n=w，顯然這樣得到x_n∈｛1，2，…，255｝

三、圖像分存

圖像分存需要考慮到的一個(gè)重要因素是數(shù)據(jù)膨脹率，生成的分存圖像是原圖大小的4倍，增加了存儲(chǔ)空間。本文提出的分存方法使分存圖像的大小與原圖像大小相同，可有效降低現(xiàn)有分存方法的數(shù)據(jù)膨脹。

1、圖像分存

應(yīng)用離散Arnold變換實(shí)現(xiàn)圖像分存，將每個(gè)位置的像素都分解成兩個(gè)值，選用M×N的圖像I，其相應(yīng)的離散Arnold變換表達(dá)式如下：

其中：Ai，j和bi，j是由Logistic映射控制的可變參數(shù)，Ii，j是圖像位置（i，j）的像素值大小，Xi，j和Yi，j分別是分解后兩幅分存圖像位置（i，j）處的像素值大小。選取圖像位置（i，j）處灰度值的補(bǔ)碼值255－Ii，j作為Arnold變換中y的初值，可以避免像素值為零時(shí)Arnold變換產(chǎn)生零值序列的問(wèn)題。本文Arnold變換系數(shù)矩陣：

其行列式|k|=1，因此滿足系數(shù)矩陣在模256運(yùn)算下存在逆矩陣的充要條件gcd（|k|，256）=1，所以該方程在有限域下的解具有唯一性，即得到的分解值是唯一的。由此可知圖像I的每個(gè)像素Ii，j用變參數(shù)的離散Arnold變換產(chǎn)生的兩個(gè)像素值xi，j，yi，j具有唯一性，即分存圖像與原圖像每個(gè)位置上的灰度值一一對(duì)應(yīng)。因此，圖像I經(jīng)過(guò)Arnold變換所產(chǎn)生的兩幅分存圖像X、Y的大小均與I相同。其詳細(xì)步驟如下：

1）用3個(gè)初始值分別是ki（i=1，2，3），參數(shù)分別是μi（i=1，2，3）的Logistic映射生成離散Arnold變換的參數(shù)ai，j、bi，j（i=1，2，…，M；j=1，2，…，N）和輪數(shù)di，j（i=1，2，…，M；j=1，2，…，N）。

2）將原圖像I中位置（i，j）處的像素灰度Ii，j及其補(bǔ)碼值255－Ii，j作為離散Arnold變換的初始值x0、y0，進(jìn)行di，j輪迭代運(yùn)算，得到分存圖像X和Y中位置（i，j）處的灰度值xi，j，yi，

2、像素?cái)U(kuò)散的圖像分存加密

使用二維離散Arnold變換得到的分存圖像中每個(gè)位置的像素值僅與原圖像中該位置的像素值有關(guān)，因此不能抵抗明文攻擊和差分攻擊。這里首先對(duì)圖像像素進(jìn)行置亂，再利用三維離散Arnold變換將圖像分存并使像素值擴(kuò)散，從而使算法具有更高的抗攻擊能力。因變參數(shù)的離散Arnold變換消除了周期性，所以選用變參數(shù)的二維離散Arnold變換對(duì)圖像置亂，以提升加密的效果。

首先用兩個(gè)初始值分別是ki（i=1，2），參數(shù)分別是μi（i=1，2）的Logistic映射生成二維離散Arnold變換的參數(shù)ai、bi（i=1，2，…，lu），其中l(wèi)u為置亂輪數(shù)。

其次在第i輪使用參數(shù)為ai、bi的二維離散Arnold變換對(duì)圖像進(jìn)行置亂，經(jīng)過(guò)lu輪后得到置亂加密圖像I。Logistic映射的初始值ki（i=1，2），參數(shù)μi（i=1，2）和置亂循環(huán)輪數(shù)lu均作為密鑰使用。三維離散Arnold變換的系數(shù)矩陣也滿足有限域下可逆的充要條件gcd（|AHQ|，256）=1，因此其分解值具有唯一性。本文三維離散Arnold變換表達(dá)式如下：

其中Ii，j是圖像位置（i，j）處像素值的大小。為便于算法描述，記I（i，j）=I（Ni+j），令M×N=l，二維下標(biāo)的Ii，j被記為一維下標(biāo)的I（Ni+j），即為I1，I2，…，Il。r取0～255中的任意整數(shù)。分存步驟如下：

1）用初始值分別是ki（i=1，2，…，7），參數(shù)分別是μi（i=1，2，…，7）的Logistic映射生成離散Arnold變換的參數(shù)ax（i）、bx（i）、ay（i）、by（i）、az（i）、bz（i）（i=1，2，…，2×l）和輪數(shù)di（i=1，2，…，2×l）。

2）選取參數(shù)是ax（1）、bx（1）、ay（1）、by（1）、az（1）、bz（1）的離散Arnold變換，將I1及255－I1作為變換的初始值x0和y0，r作為初始值z(mì)0，進(jìn)行d1輪迭代運(yùn)算，生成x1、y1、z1，然后X1→x1，Y1→y1，r→z1。

3）選取參數(shù)是ax（2）、bx（2）、ay（2）、by（2）、az（2）、bz（2）的離散Arnold變換，將I2及255－I2作為變換的初始值x0和y0，r作為初始值z(mì)0，進(jìn)行d2輪迭代運(yùn)算，生成x2、y2、z2，然后X2x2，Y2y2，rz2。如此繼續(xù)，直到i=l。

4）選取參數(shù)是ax（l）、bx（l）、ay（l）、by（l）、az（l）、bz（l）的離散Arnold變換，將Il及255－Il作為變換的初始值x0和y0，r作為初始值z(mì)0，進(jìn)行dl輪迭代運(yùn)算，生成xl、yl、zl，然后Xl→xl，Yl→yl，r→zl。

5）重復(fù)1）～4）一遍，其中離散Arnold變換的參數(shù)為ax（l+i）、bx（l+i）、ay（l+i）、by（l+i）、az（l+i）、bz（l+i），輪數(shù)為dl+i（i=1，2，…，l）。

6）將得到的X、Y作為分存圖像，最終的r值作為解密密鑰。

3、彩色圖像分存

一幅彩色圖像由RGB3個(gè)灰度分量圖像組成，因此加密彩色圖像可以看做對(duì)RGB3個(gè)灰度分量圖像進(jìn)行加密。這里為了使RGB灰度圖像間的像素得到擴(kuò)散，采用如下三維離散Arnold變換：

其中每組離散Arnold變換產(chǎn)生分存圖像的方法與灰度圖像方法相同，首先，使用參數(shù)可變的二維離散Arnold變換對(duì)灰度圖像分量分別進(jìn)行輪數(shù)為lu1、lu2、lu3的置亂；其次，用Logistic映射生成長(zhǎng)度為6×l的混沌序列，每組三維離散Arnold變換依次取2×l個(gè)混沌值作為參數(shù)和輪數(shù)。得到灰度分量圖像R的分存圖像為X1、Y3，灰度分量圖像G的分存圖像為X2、Y1，灰度分量圖像B的分存圖像為X3、Y2，則原彩色圖像I的分存圖像X由X1、X2、X3組成，分存圖像Y由Y1、Y2、Y3組成，最終的rr、rg、rb的值作為解密密鑰。

4、解密過(guò)程

解密是分存加密的逆過(guò)程，需要利用離散Arnold變換的逆變換，根據(jù)密鑰參數(shù)進(jìn)行逆向迭代運(yùn)算可得到原圖像。本文選取的二維Arnold變換逆變換為：

而三維Arnold變換的逆變換為：

基于Arnold變換的圖像分存加密方法不僅可以對(duì)原圖像的像素進(jìn)行了非線性擴(kuò)散，而且明文、密文、密鑰之間的函數(shù)關(guān)系具有高度的非線性和復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。同時(shí)內(nèi)部密鑰與明文圖像也緊密相關(guān)，明文圖像的微小改變不僅會(huì)影響整幅分存圖像而且還會(huì)改變內(nèi)部密鑰，也能夠抵抗差分攻擊。

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