RSA加密算法是第一個(gè)既能用于數(shù)據(jù)加密也能用于數(shù)字簽名的算法。它易于理解和操作，也很流行，它經(jīng)歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。RSA加密算法的名字以發(fā)明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA加密算法的安全性一直未能得到理論上的證明。

RSA加密算法解析 :

首先, 找出三個(gè)數(shù), p, q, r,
其中 p, q 是兩個(gè)相異的質(zhì)數(shù), r 是與 (p-1)(q-1) 互質(zhì)的數(shù)......
p, q, r 這三個(gè)數(shù)便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
這個(gè) m 一定存在, 因?yàn)?r 與 (p-1)(q-1) 互質(zhì), 用輾轉(zhuǎn)相除法就可以得到了.....
再來, 計(jì)算 n = pq.......
m, n 這兩個(gè)數(shù)便是 public key

編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個(gè)大整數(shù), 假設(shè) a < n....
如果 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進(jìn)位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
則每一位數(shù)均小於 n, 然後分段編碼......
接下來, 計(jì)算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是編碼後的資料......

解碼的過程是, 計(jì)算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解碼完畢...... 等會(huì)會(huì)證明 c 和 a 其實(shí)是相等的

如果第三者進(jìn)行竊聽時(shí), 他會(huì)得到幾個(gè)數(shù): m, n(=pq), b......
他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r......
所以, 他必須先對(duì) n 作質(zhì)因數(shù)分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個(gè)非常的大質(zhì)數(shù) p, q,
使第三者作因數(shù)分解時(shí)發(fā)生困難.........

<定理>
若 p, q 是相異質(zhì)數(shù), rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一個(gè)正整數(shù), b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq

證明的過程, 會(huì)用到費(fèi)馬小定理, 敘述如下:
m 是任一質(zhì)數(shù), n 是任一整數(shù), 則 n^m == n mod m
(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質(zhì), 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運(yùn)用一些基本的群論的知識(shí), 就可以很容易地證出費(fèi)馬小定理的........

<證明>
因?yàn)?rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數(shù)
因?yàn)樵?modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍數(shù), 也不是 q 的倍數(shù)時(shí),
則 a^(p-1) == 1 mod p (費(fèi)馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (費(fèi)馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍數(shù), 但不是 q 的倍數(shù)時(shí),
則 a^(q-1) == 1 mod q (費(fèi)馬小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍數(shù), 但不是 p 的倍數(shù)時(shí), 證明同上

4. 如果 a 同時(shí)是 p 和 q 的倍數(shù)時(shí),
則 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.

這個(gè)定理說明 a 經(jīng)過編碼為 b 再經(jīng)過解碼為 c 時(shí), a == c mod n (n = pq)....
但我們?cè)谧鼍幋a解碼時(shí), 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以這就是說 a 等於 c, 所以這個(gè)過程確實(shí)能做到編碼解碼的功能.....

RSA加密算法的安全性依賴于大數(shù)分解

RSA加密算法的安全性依賴于大數(shù)分解，但是否等同于大數(shù)分解一直未能得到理論上的證明，因?yàn)闆]有證明破解RSA加密算法就一定需要作大數(shù)分解。假設(shè)存在一種無須分解大數(shù)的算法，那它肯定可以修改成為大數(shù)分解算法。目前，RSA 加密算法的一些變種算法已被證明等價(jià)于大數(shù)分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法?，F(xiàn)在，人們已能分解多個(gè)十進(jìn)制位的大素?cái)?shù)。因此，模數(shù)n必須選大一些，因具體適用情況而定。

RSA加密算法的速度較慢，一般只用于少量數(shù)據(jù)加密

由于進(jìn)行的都是大數(shù)計(jì)算，使得RSA加密算法最快的情況也比DES加密算法慢上倍，無論是軟件還是硬件實(shí)現(xiàn)。速度一直是RSA加密算法的缺陷。一般來說RSA加密算法只用于少量數(shù)據(jù)加密。

RSA加密算法在選擇密文攻擊面前很脆弱

一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實(shí)體簽署。然后，經(jīng)過計(jì)算就可得到它所想要的信息。實(shí)際上，攻擊利用的都是同一個(gè)弱點(diǎn)，即存在這樣一個(gè)事實(shí)：乘冪保留了輸入的乘法結(jié)構(gòu)：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已經(jīng)提到，這個(gè)固有的問題來自于公鑰密碼系統(tǒng)的最有用的特征--每個(gè)人都能使用公鑰。但從算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是采用好的公鑰協(xié)議，保證工作過程中實(shí)體不對(duì)其他實(shí)體任意產(chǎn)生的信息解密，不對(duì)自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對(duì)陌生人送來的隨機(jī)文檔簽名，簽名時(shí)首先使用One-Way HashFunction 對(duì)文檔作HASH處理，或同時(shí)使用不同的簽名算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方法。

RSA加密算法公共模數(shù)攻擊方法

若系統(tǒng)中共有一個(gè)模數(shù)，只是不同的人擁有不同的e和d，系統(tǒng)將是危險(xiǎn)的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質(zhì)，那末該信息無需私鑰就可得到恢復(fù)。設(shè)P為信息明文，兩個(gè)加密密鑰為e1和e2，公共模數(shù)是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因?yàn)閑1和e2互質(zhì)，故用Euclidean算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設(shè)r為負(fù)數(shù)，需再用Euclidean算法計(jì)算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，還有其它幾種利用公共模數(shù)攻擊的方法。總之，如果知道給定模數(shù)的一對(duì)e和d，一是有利于攻擊者分解模數(shù)，一是有利于攻擊者計(jì)算出其它成對(duì)的e’和d’，而無需分解模數(shù)。解決辦法只有一個(gè)，那就是不要共享模數(shù)n。

RSA加密算法的小指數(shù)攻擊

有一種提高RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會(huì)使加密變得易于實(shí)現(xiàn)，速度有所提高。但這樣做是不安全的，對(duì)付辦法就是e和d都取較大的值。

RSA加密算法的缺點(diǎn)

A)產(chǎn)生密鑰很麻煩，受到素?cái)?shù)產(chǎn)生技術(shù)的限制，因而難以做到一次一密。

B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運(yùn)算代價(jià)很高，尤其是速度較慢，較對(duì)稱密碼算法慢幾個(gè)數(shù)量級(jí)；且隨著大數(shù)分解技術(shù)的發(fā)展，這個(gè)長度還在增加，不利于數(shù)據(jù)格式的標(biāo)準(zhǔn)化。

目前，SET( Secure Electronic Transaction )協(xié)議中要求CA采用比特長的密鑰，其他實(shí)體使用比特的密鑰。

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