如何給光學(xué)圖像加密，今天我們提出了一種用級(jí)聯(lián)相位恢復(fù)算法把待加密圖像綜合到2塊隨機(jī)相位板(RPM)之中從而實(shí)現(xiàn)圖像加密的技術(shù)。該算法利用同時(shí)調(diào)整2塊RPM的相位分布的搜索策略，擴(kuò)大搜索空間，能得到質(zhì)量非常高的解密圖像。

一、級(jí)聯(lián)相位恢復(fù)算法

為表述方便，把待加密的圖像表示為f(x，y)，如圖1所示。在加密系統(tǒng)中，希望設(shè)計(jì)出2塊RPM板e(cuò)xp[jb(x，y)]和exp[jp(u，v)]，其中(x，y)表示空間域坐標(biāo)、（u，v）表示頻譜域坐標(biāo)，分別置于4-f系統(tǒng)的輸入平面和Fourier平面，使得在理想情況下，當(dāng)系統(tǒng)以平面相干光輸入時(shí)得到振幅為f(x，y)的輸出。換句話說，這相當(dāng)于把待加密圖像f(x，y)綜合到相位函數(shù)exp[jb(x，y)]和exp[jp(u，v)]中。因此，輸入、輸出平面之間的關(guān)系可以表示為：

其中，F(xiàn)和F-1分別表示Fourier變換和逆Fourier變換；exp[jq(x，y)]是優(yōu)化后輸出平面上的相位。于是，加密f(x，y)的問題就相當(dāng)于尋找方程(1)的解exp[jb(x，y)]、exp[jp(u，v)]以及exp[jq(x，y)]。這實(shí)際上是一個(gè)級(jí)聯(lián)相位恢復(fù)問題，即根據(jù)輸入輸出的振幅約束來恢復(fù)輸入輸出以及頻譜平面的相位。與典型的相位恢復(fù)問題類似，該問題也可用迭代算法求解。

級(jí)聯(lián)相位恢復(fù)算法主要在輸入平面、頻譜平面以及輸出平面之間根據(jù)方程(1)所表示的正向變換及其與此相反的反向變換來回迭代，以約束函數(shù)[平面波和圖像f(x，y)]對(duì)每次迭代過程中在輸入、輸出平面上得到的復(fù)函數(shù)作振幅調(diào)制而保留相位。當(dāng)一次迭代完成后，在輸入平面所得到的相位作為該平面上RPM的相位，正、反向變換到頻譜平面上所得到的相位差作為該平面上RPM的相位。然后以這2個(gè)相位開始下一次迭代，以此循環(huán)，直到滿足評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。

評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)可以定義為當(dāng)前次迭代所得的fk(x，y)與f(x，y)的均方差。

但是對(duì)于加密，更恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是fk (X，y)與f(x，y)的相關(guān)度。因?yàn)樵诤芏鄷r(shí)候，需要對(duì)解密圖像進(jìn)行相關(guān)識(shí)別，這就需要做相關(guān)運(yùn)算。相關(guān)度可以用相關(guān)系數(shù):

來衡量。式中，Cov（f，fk）是fk (X，y)與f(x，y)的協(xié)方差，其為:

σf是f (x，y)的方差，其有:

式中E(*)是數(shù)學(xué)期望。

二、計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果

為驗(yàn)證算法的有效性，在計(jì)算機(jī)模擬中，我們嘗試把圖1綜合成2個(gè)相位函數(shù)。即通過設(shè)計(jì)2塊RPM，置于4-f系統(tǒng)的相應(yīng)位置上，得到振幅如（或非常近似于）圖1分布的輸出。假定以振幅為1的平面波入射，同時(shí)使待加密圖像的總能量與輸入平面的能量相等，并且設(shè)計(jì)的RPM都具有連續(xù)相位分布。光波的波長與透鏡的焦距都?xì)w并到正、逆Fourier變換的因子中以方便實(shí)現(xiàn)快速Fourier算法。輸入輸出以及頻譜平面都具有相同的孔徑，并且都采樣成256×256。

算法開始時(shí)，先把b(x，y)和p(u，v)均初始化為在0～2π之間均勻分布的隨機(jī)陣列，使它們具有白噪聲分布，然后按照算法流程來回迭代。在迭代過程中，始終保持輸入平面的能量不變。我們發(fā)現(xiàn)，算法的收斂速度非常快，只需要經(jīng)過少數(shù)幾次迭代，就能夠迅速找到非常好的解，使得均方差的數(shù)量級(jí)減少到10 -18，相關(guān)系數(shù)也從O迅速增大到超過0. 99。迭代100次時(shí)所得到的相位exp[jb(x，y)]和exp[jp（x，y）]分別如圖2和圖3所示[要注意；這里顯示的實(shí)際上是b(x，y)和p（u，v）除以2π以后的值]。這相當(dāng)于把圖1加密成這2個(gè)相位函數(shù)。它們的直方圖分別如圖4所示。這顯示它們中各灰度像素點(diǎn)的數(shù)目基本相等，滿足O～1之間的均勻分布，表明加密效果很好。當(dāng)正確的exp[jb(x，y)]和expEiP(u，v)]都放在恰當(dāng)?shù)奈恢脮r(shí)，在4-f系統(tǒng)的輸出平面上檢測(cè)到的圖像如圖5所示。比較圖1和圖5可以發(fā)現(xiàn)，它們之間已經(jīng)沒有明顯的差別，實(shí)際上，均方差已經(jīng)減小到10 -18量級(jí)。這表明解密圖像的質(zhì)量非常高，這種程度的解密圖像，是只優(yōu)化1塊相位板的算法所無法得到的。換句話說，以這種算法加密的圖像，在知道密鑰的情況下，能夠得到很精確的解密。

對(duì)于一個(gè)安全系統(tǒng)來說，除了要求在擁有密鑰時(shí)能夠很容易得到解密圖像，還有一個(gè)更重要的要求，就是應(yīng)該能夠抵抗非法解密。這有非常重要的實(shí)際意義。圖6顯示的是以不正確的exp[jp(u，v)]解密時(shí)得到的圖像。顯然，只能得到噪聲，與圖1的相關(guān)程度非常低。在計(jì)算實(shí)例中，相關(guān)系數(shù)只有0. 001 4，即無法解密。當(dāng)以不正確的exp[jb(x，y)]嘗試解密時(shí)得到的輸出與圖6類似，其中一個(gè)計(jì)算實(shí)例表明，它與原始圖像的相關(guān)系數(shù)只有0. 007 4，也無法解密。實(shí)際上，exp[jb(x，y)]與exp[jp (u，v)]都是通過優(yōu)化算法優(yōu)化產(chǎn)生的，而不是用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器產(chǎn)生的隨機(jī)序列，不能匹配。因此，當(dāng)用后者替換前者嘗試解密時(shí)，必然會(huì)失敗，從而保證了系統(tǒng)的安全性。

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