為了提高圖像加密的效率和實現(xiàn)分級加密，提出一種基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換和小波分解的彩色圖像分級加密方案。通過對圖像矩陣和顏色索引表分別進行加密來實現(xiàn)彩色圖像的分級加密。

一、分?jǐn)?shù)傅里葉變換

分?jǐn)?shù)傅里葉變換是傳統(tǒng)傅里葉變換在分?jǐn)?shù)級次上的延伸。對輸入函數(shù)f(x)的a階次FrFT定義為：

其中Ka(x，u)為FrFT的核函數(shù)

二維的FrFT為：

其中a1和a2分別為傅里葉變換在x軸和y軸方向的階次。由于FrFT的階次可以作為密鑰，將FrFT應(yīng)用于圖像加密可以進一步增強系統(tǒng)的安全性。

二、小波分解

小波變換是一種介于純時域和純頻域分析之間的一種時頻分析方法，可以表示為一個信號與某個核函數(shù)的修正形式乘積的積分運算，該核函數(shù)稱為小波或小波基。用作小波基的函數(shù)必須是可允許的，即滿足：

其中，h(w)為h(t)的傅里葉變換，h(t)稱為一個基小波或小波母函數(shù)，式(5)稱為允許條件。將h(t)進行伸縮和平移，設(shè)其尺度因子為a，平移因子為b。平移伸縮后的函數(shù)為：

hab(t)稱為小波基函數(shù)，它們是由同一個母函數(shù)h(t)經(jīng)過平移和伸縮得到的一組函數(shù)集合。信號f(t)的連續(xù)小波變換定義為：

在圖像處理中利用二維離散小波變換可以將圖像進行分解，得到圖像的低頻近似分量和水平細節(jié)分量、垂直細節(jié)分量以及對角細節(jié)分量。在得到各分量的情況下，可以利用小波逆變換重構(gòu)圖像。

三、加密算法

基于FrFT和小波分解的彩色圖像分級加密算法流程如圖1所示。

設(shè)待加密的原始彩色圖像為RGB格式，記為I0，本加密方案的實現(xiàn)步驟如下：

(1)將輸入的原始彩色圖像I0轉(zhuǎn)換為索引圖像I0，索引圖像可以表示為：

其中X為圖像矩陣，map為顏色映射表。

(2)對顏色映射表map進行Logistic置亂，Logistic映射定義為：

其中，O≤μ≤4稱為分叉參數(shù)，xn∈(0，1)為序列值。當(dāng)3. 569 945 6≤μ≤4時，Logistic映射呈混沌態(tài)。Logistic產(chǎn)生的混沌序列具有很好的隨機性，可以應(yīng)用于序列的置亂。置亂過程如下：

(2a)按照Logistic混沌系統(tǒng)，選取合適的參數(shù)z．和弘進行迭代，如果置亂的序列大小為M×N，則n取M和N中較大的值，生成混沌序列S。

(2b)將生成的混沌序列S按照從小到大的順序進行重新排列得到序列Q，找出序列Q中的元素在序列S中的位置，并生成位置序列L。

(2c)把顏色索引表的第i行整行移到第Li(i=l，2，…，M)行，L代表位置序列的第f個位置的值。移動完行后，再對列做類似的移動，即把第i列整列移到第Li(i=1，2，…，N)列。變換后的顏色索引表
達到了置亂的目的，與原圖像矩陣結(jié)合得到一級加密圖像。

(3)對圖像矩陣X進行單層小波分解，單層小波分解后得到四個子分量，提取出低頻分量WL作為后續(xù)加密的輸入圖像。

(4)對WL進行FrFT域的雙隨機相位編碼(DRPE)，得到二級加密圖像。

其中，P表示階次為a的FrFT。ψ（x，y）和ξ（u，v）為空間域和變換域的隨機相位模板，相位值均勻分布在[O，2兀]。編碼過程如圖2所示，其中RPM1和RPM2分別代表隨機相位模板。

(5)將加密的低頻分量和水平細節(jié)分量、垂直細節(jié)分縫以及對角細節(jié)分屢進行小波逆變換合成圖像矩陣的密文Xe。

(6)置亂的顏色索引表和加密的圖像矩陣結(jié)合生成密文C。

本方案的主要密鑰是：顏色索引表混沌置亂時的混沌序列初值XI和分叉參數(shù)μ，對圖像矩陣進行雙隨機相位編碼時使用的兩個隨機相位函數(shù)ψ（x，y）和ξ（u，v），兩次FrFT的階次Pi和P2，可見本方案有足夠大的密鑰空間保證圖像加密的安全，可以抵御窮舉法攻擊。

解密過程為加密的逆過程。先對密文的圖像矩陣進行小波逆變換，提取低頻分量進行雙隨機相位的解碼，然后與其他分量結(jié)合進行小波變換得到第一級解密圖像，再對顏色索引表進行解密得到原始圖像。只有當(dāng)所有密鑰均正確時，用戶才能同時解密出圖像矩陣和顏色索引表，獲得正確的原索引圖像。

本方案在加密過程中，由于引入了小波分解，只對圖像矩陣經(jīng)小波變換之后的低頻分量進行加密，減小了計算復(fù)雜度，顯著提高了加密速度。

本方案的特點是利用小波分解和分?jǐn)?shù)傅里葉變換實現(xiàn)了彩色圖像的分級加密。韓琦等提出的分級加密方案僅對圖像矩陣進行了置亂，并沒有改變圖像矩陣的灰度值，安全性較低。在本文方案中，對圖像矩陣進行了加密，提高了系統(tǒng)的安全性。在對圖像矩陣經(jīng)小波變換后的低頻分量加密時采用了基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的雙隨機相位編碼，使方案既可以光學(xué)實現(xiàn)也可以計算機實現(xiàn)，加密方式更加靈活，如果使用光學(xué)系統(tǒng)實現(xiàn)加磷方案還可以進一步提高加密速度。

四、仿真結(jié)果

用一幅彩色圖像Lena作為例子，在MatlabR2010a平臺上進行仿真。圖3(a)為待加密的真彩色圖像Lena。圖3(b)為索引圖像的圖像矩陣，圖3(c)為第一級加密圖像，圖3(d)為圖像小波分解之后各個分量的圖像，圖3(e)為選取的低頻分量，圖3(f)為加密圖像，圖3(g)為經(jīng)過解密得到的一級解密圖像，圖3(h)為經(jīng)過解密得到的二級解密圖像。

為了測試密鑰的敏感性，在對圖像解密時，兩次分?jǐn)?shù)傅里葉變換的階次誤差分別為0. 05時的解密圖像如圖4(a)和(b)所示；隨機相位函數(shù)錯誤時的解密圖像如圖4(c)和(d)所示；錯誤的混沌序列初值x1=0.5得到的解密圖像如圖5(a)所示，錯誤分叉參數(shù)μ=2.5時的解密圖像如圖5(b)所示。從解密圖像中可以看出，此方案密鑰空間大，密鑰敏感性高，具有較高的安全性。

圖像加密的目的就是使加密圖像的直方圖特征難以提取以保證圖像的安全。圖6顯示了加密前后圖像的直方圖分布，圖6 (a)為輸入原始圖像的直方圖。顯然，原始圖像的直方圖特征較為明顯，安全性較低，不利于網(wǎng)絡(luò)傳輸。通過分?jǐn)?shù)傅里葉變換加密圖像矩陣獲得的第二級加密圖的直方圖如圖6(c)所示，直方圖改變很大，攻擊者很難從統(tǒng)計特性中獲得有用的信息。

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