針對(duì)多通道彩色圖像加密算法傳榆負(fù)擔(dān)大的缺陷，我們提出了一種基于頻譜切割和二維Arnold變換的單通道彩色圖像文件加密算法。

一、基于頻譜切割和二維Arnold變換的單通道彩色圖像文件加密算法相關(guān)基礎(chǔ)

通常圖像傅里葉頻譜的能量主要集中在中心的低頻部分，即可由傅里葉變換的低頻部分重建原始圖像。當(dāng)分?jǐn)?shù)階接近l時(shí)，經(jīng)過FrFT以后，中間部分的頻譜包含了圖像的大部分信息，可以基本描述圖像，解密時(shí)使用一半的頻譜即可有效恢復(fù)出原始圖像。對(duì)FrFT域進(jìn)行頻譜切割，將其高頻部分用O代替，再將多個(gè)圖像的頻譜組合成新的頻譜，能縮減數(shù)據(jù)量，提高加密效率。該方法犧牲的圖像細(xì)節(jié)信息在視覺上差異很小。假設(shè)函數(shù)I（x，y）在（x，y）內(nèi)沒有零值，x∈[-Lx，Lx]，y∈[-Ly，Ly]，函數(shù)I(x，y)的二維FrFT為，其中Lu、Lv限制了輸出函數(shù)ψ(u，v)中變量u和v的幅度。ψ(u，v)的頻譜切割方程為，其中kx和ky為區(qū)間(O，1)內(nèi)的切削系數(shù)。

Arnold變換是一種點(diǎn)的位置移動(dòng)變換，即單位矩陣內(nèi)各點(diǎn)唯一地變換到單位矩陣內(nèi)的另一點(diǎn)。對(duì)于數(shù)字圖像，二維Arnold變換形式為：

其中N是圖像矩陣的大小。數(shù)字圖像的位置移動(dòng)是將（x，y）處像素對(duì)應(yīng)的灰度值移動(dòng)至（x'，y'）處。遍歷原圖像的所有點(diǎn)之后，便產(chǎn)生一幅置亂的新圖像。Arnold變換具有周期性，當(dāng)?shù)侥骋徊綍r(shí)，將重新得到原始圖像。對(duì)數(shù)字圖像迭代地使用離散Arnold變換，即將前一次變換輸出（x'，y'）作為Arnold變換的輸入，直到圖像“雜亂無章”，即變成類似噪聲的無意義圖像，以達(dá)到置亂的效果。

二、本文的彩色圖像加密算法

對(duì)于N×N×3的彩色圖像，加密算法的步驟如下：

1)提取原始彩色圖像的RGB分量。

2)對(duì)RGB分鐙分別進(jìn)行FrFT。

3)按相應(yīng)的切削系數(shù)對(duì)RGB分量的FrFT頻譜進(jìn)行切割，將切割得到的頻譜ψ1，ψ2，ψ3組合在一起，得到N×N的二維組合頻譜圖ψ。

其中：S1、S2和S3表示相應(yīng)的切削系數(shù)所限制的頻譜范圍。

4)利用二維Arnold變換對(duì)組合頻譜沙進(jìn)行置亂，即利用式(5)遍歷沙的所有點(diǎn)完成一次Arnold置亂，以此類推對(duì)每次變換所得結(jié)果進(jìn)行Arnold變換，直到完成所設(shè)定的迭代次數(shù)。迭代次數(shù)可作為密鑰。迭代完成后，ψ被置亂為ψ’。

5)對(duì)ψ’進(jìn)行隨機(jī)相位編碼，與第2）步一起構(gòu)成雙隨機(jī)相位加密。對(duì)于實(shí)值的輸人圖像，雙隨機(jī)相位編碼加密過程中真正起作用的是第二塊隨機(jī)相位模板，將第2）步中的相位模板看作相位全O的模板。

其中ψ”（u’，v’）和p（u，v）分別為密文圖像和隨機(jī)相位掩模。

解密過程與加密過程相反，進(jìn)行隨機(jī)相位解碼后利用二維Arnold變換的周期性恢復(fù)出組合頻譜，從中提取出RGB三個(gè)分量的FrFT頻潛，不足部分填充0，再對(duì)其進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉逆變換，解密出原始彩色圖像的RGB分量，三者的組合就是解密圖像。

三、仿真與分析

在Matlab平臺(tái)上對(duì)大小為512x512的彩色圖像Lenti進(jìn)行仿真。第2）步和第5）步中FrFT的x和y方向上的階次分別設(shè)為α=0.9和β=0.5；頻譜切割時(shí)RGB三個(gè)分顯的比例為1:1:2；二維Arnold變換的迭代次數(shù)設(shè)定為200；生成隨機(jī)相位模板的種子seed =0.550圖l為正確密鑰加解密結(jié)果，圖(d)為將頻譜進(jìn)行隨機(jī)相位編碼后所得的圖像（即密文圖像）；圖(e)為隨機(jī)相位解碼后的頻潛。圖2為錯(cuò)誤密鑰的解密圖像，由圖可知，本文算法對(duì)各個(gè)密鑰的敏感性較強(qiáng)，只要其中一個(gè)密鑰錯(cuò)誤，都無法正確解密出原始圖像。

為了考察頻譜切割比例對(duì)系統(tǒng)解密的影響，本文對(duì)不同頻譜切割比例的解密圖像進(jìn)行分析。

1)分?jǐn)?shù)階不都接近于1

設(shè)加密密鑰為：R分量x和y方向上FrFT的分?jǐn)?shù)階分別為0.9，0.95；G分量x和y方向上FrFT的分?jǐn)?shù)階分別為0.8．0.85；B分量x和y方向上FrFT的分?jǐn)?shù)階分別為0.7，0.75。不同頻譜切割比例下的解密圖像如圖3所示。對(duì)于彩色圖像Lena來說，頻譜切割的分?jǐn)?shù)階不都接近于1時(shí)，B分量占的比例較大，R和G分憬占的比例較小時(shí)，加密圖像與原始圖像的差異較小，解密效果較好，即B分最比R和G分最來說更加重要。因此，頻譜切割時(shí)要得到最佳的解密效果應(yīng)該盡量多地截取8分量的頻譜，少截取R和G分量的頻譜。不同的彩色圖像具有不同的顏色特點(diǎn)，各顏色分量的重要程度也不同，因此應(yīng)根據(jù)原圖像的顏色特點(diǎn)進(jìn)行頻譜切割。

2)分?jǐn)?shù)階都接近于1

選取RGB分量在x和y方向上FrFT的分?jǐn)?shù)階均為0.9，對(duì)應(yīng)不同頻譜切割比例的解密結(jié)果如圖4所示。對(duì)Lena來說，頻譜切割的分?jǐn)?shù)階都接近于1時(shí)，不同頻譜切割比例的解密圖像與原始圖像非常接近，這表明3個(gè)分量的重要性是相當(dāng)?shù)?，可以不考慮頻譜切割的比例問題。

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