基于海量數(shù)據(jù)的安全問題，我們提出了一種基于小波變換的分?jǐn)?shù)階多圖加密技術(shù)。該方案利用小波變換的多分辨率分解的特性，可以將圖像上的能量盡量集中在低頻的子帶上。將多幅圖像經(jīng)小波變換后得到各自的低頻圖，然后重新組合成一幅圖像，該圖像將含有原來多幅圖像的大部分能量，再對低頻圖進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換，變換的過程中通過兩塊隨機(jī)相位板調(diào)制，得到加密圖像，完成多圖加密；利用加密的逆過程可以得到解密的多圖。

一、分?jǐn)?shù)階多圖加密算法介紹

1、基本加密算法

為了實(shí)現(xiàn)加密多圖，將小波變換和分?jǐn)?shù)傅里葉變換相結(jié)合，利用小波變換將能量集中于低頻部分。在保證圖像質(zhì)量損失較小的基礎(chǔ)上縮小圖像尺寸，然后利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)多圖加密。具體算法如下：

1)對多幅圖像Ai（O<i≤n）依次進(jìn)行小波變換，得到圖像Ai相應(yīng)的低頻部分圖Bi。

2)將Bi由下式組成新的圖像A(u，v)：

式中S1，S2，…，Sn為A(u，v)上的區(qū)域。

3)在A(u，v)的Bi(0<i≤n)上疊加與之相應(yīng)大小的隨機(jī)相位佇(0<i≤n)，得到相應(yīng)的Ci（O<i≤n），最終得到所有Ci組成的Ap：

4)Ap中的Ci進(jìn)行分?jǐn)?shù)階次為P的傅里葉變換，然后再疊加上相應(yīng)大小的隨機(jī)相位θi（O<i≤n），在分?jǐn)?shù)平面得到相應(yīng)的Di和Am：

式中FP表示進(jìn)行階次為P的分?jǐn)?shù)傅里葉變換。

5)Am中的Di進(jìn)行分?jǐn)?shù)階次為Q的傅里葉變換，輸出平面得到Ai對應(yīng)的加密圖Oi和總的加密圖Ao：

式中P表示進(jìn)行階次為Q的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，每幅圖像Ai相應(yīng)的密鑰為ψi、θi、P、Qo以上過程如圖1(a)所示。

解密是加密的逆過程，通過相應(yīng)的逆分?jǐn)?shù)階次傅里葉變換和相應(yīng)的逆小波變換，給以正確的密鑰，加密圖Ao會得到相應(yīng)的解密圖Ai，此過程如圖1(b)所示。

2、光學(xué)實(shí)現(xiàn)

為了驗(yàn)證該方案的實(shí)用性，提出一種光電混合裝置實(shí)現(xiàn)算法，如圖2所示。其中MRMF為多干涉匹配濾波器，SLM1和SLM2為空間光調(diào)制器，RPM1和RPM2為隨機(jī)相位板。

圖2上半部分是小波變換的實(shí)現(xiàn)裝置，由4f系統(tǒng)和小波濾波器組成?？臻g光調(diào)制器SLM，不斷輸入原圖像，小波濾波器置于頻域面上，利用干涉得到復(fù)振幅；小波變換完成后得到一系列低頻圖，CCD采集之后輸入計(jì)算機(jī)，通過計(jì)算機(jī)將這些低頻圖像重新組合得到新圖像，然后將新圖像重新輸入到系統(tǒng)中（該過程可用已編寫的程序進(jìn)行實(shí)時處理）；圖2下半部分是分?jǐn)?shù)變換的實(shí)現(xiàn)裝置，用隨機(jī)相位板RPM1和RPM2來調(diào)制，干涉得到最終加密圖。

關(guān)于小波變換的光學(xué)實(shí)現(xiàn)，由(3)式可知，二維信號的小波變換表示為其頻譜F(u，v)與小波頻譜ψ*(a1u，a2v)的乘積，表明小波變換的頻率域?qū)崿F(xiàn)與帶通濾波器的操作相似。在傅里葉頻譜面放置一系列位置和寬度不同的帶通濾波器，就可以在輸出面上得到對應(yīng)不同擴(kuò)展因子的小波變換系數(shù)。由于光學(xué)相關(guān)的位移不變性，制作WT濾波器時可以不考慮相位因子。

不同的小波變換只能通過依次輸入不同的匹配濾波函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，速度很慢，發(fā)揮不了光學(xué)系統(tǒng)并行處理的優(yōu)越性。針對該問題，Mendlovic等提出利用Dammann光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理，每一個通道實(shí)現(xiàn)一個尺度的小波變換文獻(xiàn)，可以根據(jù)不同的需要完成不同尺度的小波變換。

三、數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證該算法的可行性，應(yīng)用Matlab對四幅圖像[如圖3(a)～(d)所示，四幅圖像的大小都為512 pixel×512 pixel]進(jìn)行了數(shù)值模擬。模擬中，應(yīng)用離散小波變換和離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換來具體實(shí)現(xiàn)該算法。

算法中小波變換將能量盡量集中于低頻部分(B1，B2，B3，B4，大小為256 pixel×256 pixel，如圖4(a)～(d)所示。

采用Haar小波變換對四幅原始圖像進(jìn)行小波變換，圖5(a)為圖3(a)小波變換后的圖像。經(jīng)過n=1級小波變換后將低頻部分重新組合得到A（u，v），如圖5(b)所示。

B1～B4分別疊加相應(yīng)大小的隨機(jī)相位ψ1—ψ4，然后分別對各通道進(jìn)行為分?jǐn)?shù)階次為Px=1.3，Py=1.1的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，得到相應(yīng)的FPi(Ci)和其組成的圖像。再疊加相應(yīng)大小的隨機(jī)相位θ1～θ4進(jìn)行分?jǐn)?shù)階次為Qx=1.5，Qy=0.9的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，得到相應(yīng)的加密圖Qi和總的加密圖Ao，如圖5(c)所示。加密過程中得到每幅圖像Ai相應(yīng)的密鑰為ψi、θi、P、Q。

解密過程是加密的逆過程，應(yīng)用正確的密鑰后，解密圖像如圖6(a)～(d)所示。觀察可發(fā)現(xiàn)，如果密鑰正確，能夠得到比較清晰的圖像。

為了衡量原始圖像在加解密前后的質(zhì)量變化，引入輸入圖像和解密圖像的均方差(MSE)來定量分析。

MSE的數(shù)學(xué)定義式為：

式中I(i，j)和K(i，j)分別代表像素點(diǎn)（i，j）的原圖像和解密圖像的灰度值。

當(dāng)密鑰正確時，四幅圖像的MSE分別為：EMS1=8.028，EMS2=13.67，EMS3=17.57，EMS4=5.356。可見該算法解密效果比較好，圖像丟失信息比較少，能基本恢復(fù)原圖像。

為了驗(yàn)證該系統(tǒng)的安全性，討論隨機(jī)相位和分?jǐn)?shù)傅里葉變換階次對圖像的影響。

分?jǐn)?shù)階次是加密過程中最重要的密鑰之一，當(dāng)其他密鑰正確，分?jǐn)?shù)階次Px、Py不匹配時，得到的解密圖像如圖7所示。容易發(fā)現(xiàn)，若解密時分?jǐn)?shù)階次與加密時不匹配，圖像很模糊。進(jìn)一步分析，計(jì)算其他密鑰都正確時，不同分?jǐn)?shù)階次對應(yīng)的解密圖像的MSE值，如圖8所示。從該圖看出，算法中分?jǐn)?shù)階次作為密鑰極為敏感，能夠很好地進(jìn)行圖像加密，證明算法是可靠和有效的。

由隨機(jī)相位、小波函數(shù)類型與縮放因子和分?jǐn)?shù)階次組成的密鑰空間很大，只有當(dāng)所有的密鑰都正確時，圖像才能被正確解密。沒有正確密鑰的未經(jīng)授權(quán)方將無法獲取原始圖像的信息，因此圖像能夠得到很好的保護(hù)。并且當(dāng)需要單獨(dú)解密一幅圖像時，可以進(jìn)行單獨(dú)解密，圖像之間不會互相影響，從而可更好地實(shí)現(xiàn)算法的靈活性。

三、基于小波變換的分?jǐn)?shù)階加密算法分析

該加密算法相比于其他加密算法，最顯著的改進(jìn)就是利用小波變換實(shí)現(xiàn)了多圖加密，改善了系統(tǒng)容量不足的問題，而且通過每幅圖的獨(dú)立密鑰，加強(qiáng)了系統(tǒng)的安全性和靈活性。多圖加密的核心就是應(yīng)用算法改進(jìn)系統(tǒng)容量，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)容量和解密圖像質(zhì)量的協(xié)調(diào)。比較常用的方案一般有角度復(fù)用、相位復(fù)用、位置復(fù)用、波長復(fù)用等，但究其過程都是將信息多次儲存在一幅圖像中，肯定會造成信息的串?dāng)_，導(dǎo)致解密效果差或是系統(tǒng)容量小。一般來說，對于各種多圖加密方案，在保證較好的解密效果的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)容量為5～6幅，最多不超過10幅。而本文的算法，在二階小波變換時，可加密16幅圖像，小波分解后的圖像和解密效果分別如圖9(a)和10(a)所示，系統(tǒng)容量大大增加。

對該算法的效果具體分析如下：

1、圖像小波變換后的效果

小波變換后，圖像的能量與原始圖像的總能量相同，但更為集中，即將整幅圖像的能量集中在低頻部分，使圖像有利于壓縮。由此定義一個評價參數(shù)，低頻能量與總能量之比(ER)：

式中ELL為小波變換后圖像低頻部分能量，EG為小波變換后圖像總能量。能量的計(jì)算式為：

式中z(i，j)代表圖像像素點(diǎn)(i，J)的灰度值。

圖像Ai經(jīng)小波變換分解后得到低頻部分Bi，以圖3(a)～(d)為例，分別進(jìn)行n=1級的Haar小波變換，與原圖Ai～A4相應(yīng)低頻部分Bi～B4占據(jù)原圖的能量分別為99. 636%、98. 885%、98. 329%和99. 861%?？芍皖l部分集中了原圖的大部分能量，可以將低頻部分重新組合成新的圖像，從而完成多圖的加密，這也是本文思路的來源。

進(jìn)一步分析對圖像進(jìn)行高階小波變換時的能量分布情況。以Lena圖像[圖3(a)]為例，分別對其進(jìn)行n=2，n=3，n=4級Haar小波變換，分解得到的低頻圖像依次為圖9(a)～(c)，與原圖相比，得到的相應(yīng)低頻部分占據(jù)的原圖的能量分別為98.43%、97.54%、96.17%。由此可見，小波變換的級次越高，低頻部分占據(jù)的像素?cái)?shù)越來越少，占據(jù)的能量越來越少，但對于各級次的變換，低頻部分能量都占據(jù)了絕大部分。

當(dāng)增加待加密原圖的數(shù)量時，同樣意味著增大小波變換的級次，得到的低頻部分占據(jù)的像素?cái)?shù)越來越少，占據(jù)的能量也越來越少。當(dāng)分別對原圖Lena進(jìn)行階次為n=2，n=3，n=4級Haar小波變換時，得到的解密圖如圖10所示?？梢婋S著加密圖像的增加，小波變換的級次增大，而解密圖像的質(zhì)量越來越差，不過當(dāng)n=4時，解密圖像依然大體清晰。

2、變換小波類型對加密效果的影響

小波變換后，圖像的能量與原始圖像的總能量相同，小波類型的不同會對圖像壓縮產(chǎn)生不同的影響。變換后圖像能量越集中于低頻部分，越有利于圖像壓縮，小波基越好。

依然以Lena圖像為例，選取4種不同類型的Haar小波進(jìn)行處理，得到各級次不同類型小波變換的ER值如表1所示。

由表1可以看出，各小波將能量集中于低頻部分時效果都比較好，在進(jìn)行n=4級的小波變換后，低頻部分依然占據(jù)了大部分能量。在算法應(yīng)用中，可根據(jù)小波的正交性、緊支撐性、對稱性等選擇小波函數(shù)。因此將小波應(yīng)用于多圖像的加密是一個很好的選擇，可以有效地解決多圖加密由于疊加操作引起的容量不足的問題。

3、獨(dú)立密鑰的性能

由于小波變換將圖像低頻部分重新組合，每幅圖像都有自己單獨(dú)的密鑰ψi、θi，因此每幅圖像的加密都是相對獨(dú)立的。

該方案在應(yīng)用中有以下特點(diǎn)：

1)將所有待加密圖像視為一個加密的整體時，相對于其他的多圖像加密方案，該方案密鑰更多，安全性更高。利用該方案可以實(shí)現(xiàn)對于該圖像的多用戶認(rèn)證，沒有所有用戶的密鑰認(rèn)證，無法得到原圖像。

2)將不同的待加密圖當(dāng)作個體時，由于各自的獨(dú)立性，加密完成后，每幅圖像都有自己相應(yīng)的密鑰。解密時可以不相互影響，因而增加了該方案的應(yīng)用性和靈活性，可以很方便地實(shí)現(xiàn)多用戶獨(dú)立解密。并且由于應(yīng)用小波變換，可以最大程度地恢復(fù)原圖。

3)為了增加該方案的安全性，可對算法中分?jǐn)?shù)變換部分進(jìn)行多次級聯(lián)，這樣不僅能通過增加密鑰來增強(qiáng)方案的安全性，同時也進(jìn)一步增加了方案的靈活性。

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