當(dāng)多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)中的用戶數(shù)多于或等于發(fā)射端天線數(shù)時(shí)，現(xiàn)有的基于人工噪聲的物理層加密算法會(huì)導(dǎo)致合法用戶無法正常接收。為提高此時(shí)的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)的安全性，該文提出一種新的基于人工噪聲的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)加密算法。

一、多用戶多用戶多輸入系統(tǒng)加密模型

多用戶多用戶多輸入系統(tǒng)的加密模型如圖1所示。假設(shè)發(fā)送端擁有NT根發(fā)射天線，K個(gè)合法用戶的接收天線均為NR。有1個(gè)竊聽用戶，其接收天線數(shù)為NE根。

第K個(gè)合法用戶和竊聽用戶接收到的信號(hào)分別為：

其中bk為第尼個(gè)合法用戶發(fā)送的信號(hào)，Hk為第k個(gè)合法用戶的信道狀態(tài)矩陣，H為竊聽用戶的信道狀態(tài)矩陣，tk和p分別為消除多用戶干擾和人工噪聲對(duì)合法用戶影響的預(yù)編碼且均為Ntx1維，名為人工噪聲nk和ne。分別為合法用戶與竊聽用戶的加性高斯白噪聲。

第k個(gè)合法用戶與竊聽用戶對(duì)信號(hào)的估計(jì)分別為：

其中wk和We分別為第k個(gè)合法用戶與竊聽方的波束賦形加權(quán)且均為NR xl維向量，wkh和weh為wk和we共軛轉(zhuǎn)置。

二、基于人工噪聲的多用戶多用戶多輸入系統(tǒng)加密算法

當(dāng)系統(tǒng)存在多個(gè)合法用戶時(shí)，利用人工噪聲進(jìn)行加密必須滿足兩點(diǎn)要求：

(1)防止多用戶之間的互干擾；

(2)人工噪聲對(duì)合法用戶的影響最小。

根據(jù)這兩點(diǎn)要求，加密算法的主要思想是設(shè)計(jì)預(yù)編碼p和tk，使信號(hào)經(jīng)過合法用戶信道后能濾掉大量的人工噪聲和多用戶間的干擾，而竊聽方受到人工噪聲的干擾無法正確解調(diào)。從式(3)，式(4)可以看出合法用戶受到小部分人工噪聲的干擾wkHkpz和信道中存在的自然加性噪聲wkhnk的影響，竊聽方受到用戶間的干擾，大部分人工噪聲weHhepz以及信道中的自然加性噪聲Wehne的影響。從上述分析可以看出，預(yù)編碼tk和p的設(shè)計(jì)直接關(guān)系到能否消除人工噪聲對(duì)合法用戶的影響和多用戶干擾，然而tk和p是通過構(gòu)造補(bǔ)矩陣和聯(lián)合信道狀態(tài)矩陣并分別對(duì)其進(jìn)行奇異值分解才得到的預(yù)編碼。因此，算法可以分為基于補(bǔ)矩陣奇異值分解的預(yù)編碼和基于聯(lián)合信道狀態(tài)矩陣奇異值分解的預(yù)編碼兩大模塊。

1、基于補(bǔ)矩陣奇異值分解的預(yù)編碼

采用改進(jìn)的迫零波束賦形方法，首先在接收端進(jìn)行波束賦形其加權(quán)向量為wl，然后定義補(bǔ)矩陣Hl=[h1，…，hl-1，hl+1，…，hK]T，且hL=(WlHHl)T是NT×1的向量，可以得知H2為(K-1)×NT維，最后對(duì)其進(jìn)行奇異值分解得Hl=UlDlflh。當(dāng)K≤NT時(shí)，Hf的行小于列，奇異值分解存在零空間，右奇異向量可以繼續(xù)分解為vl=[vl(8)vl(0)）]H，vl(8)為非零奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量，vl(0)為補(bǔ)矩陣的零空間。因此，可得基于Ht奇異值分解的預(yù)編碼tk=Vl(O)。

2、基于聯(lián)合信道狀態(tài)矩陣奇異值分解的預(yù)編碼

要使人工噪聲同時(shí)滿足對(duì)K個(gè)合法用戶的影響最小，定義聯(lián)合信道狀態(tài)矩陣為Hk=[hi，…，hK]T，其中hL=(WlHHl)T是NT×1的向量，H為K×NT維，進(jìn)行奇異值分解得Hk=Uk Dk Vki。

當(dāng)K<NT時(shí)，HK的行小于列，奇異值分解存在零空間，右奇異向量可以繼續(xù)分解為vk=[Vk(8) Vk(0)]H，Vk0)為Hk的零空間，可得基于Hk奇異值分解的預(yù)編碼p=Vk(0)，此時(shí)通過預(yù)編碼人工噪聲對(duì)合法用戶的干擾為零。當(dāng)K≥NT時(shí)，右奇異向量可以繼續(xù)分解為vk=wk(8)H，此時(shí)H分解不存在零空間，即多用戶MIMO系統(tǒng)不存在零空間。為了使人工噪聲落在對(duì)合法用戶影響最小的子信道傳
輸，以達(dá)到減少對(duì)合法用戶影響的效果，選取Vk(s)中對(duì)應(yīng)奇異值最小的向量為預(yù)編碼p。其具體計(jì)算步驟如下：

(1)對(duì)hk進(jìn)行奇異值分解，并選擇最大奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量為Wk；

(2)構(gòu)造補(bǔ)矩陣Hl=[h1，…，hl-1，hl+1，…，hK]T，并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解得到預(yù)編碼tk，用于消除多用戶干擾；

(3)構(gòu)造聯(lián)合信道狀態(tài)矩陣Hk=[hi，…，hK]T，并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解得到預(yù)編碼p，用于消除人工噪聲對(duì)合法用戶的影響。

三、基于人工噪聲的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)加密算法性能分析

1、基于人工噪聲的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)加密算法安全性能分析

關(guān)于保密容量的定義，可以推出不存在零空間下的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)第k個(gè)用戶的保密容量為：

其中σu，σz，σn，σe分別表示第k個(gè)用戶分配的信號(hào)功率、人工噪聲功率、合法用戶信道的噪聲功率，以及竊聽用戶信道的噪聲功率。當(dāng)且僅當(dāng)干擾項(xiàng)與人工噪聲均服從高斯分布時(shí)，等式成立，即可以得到高斯信道下的多用戶多用戶多輸入系統(tǒng)的第k個(gè)用戶的保密容量為：

從式(6)可以看出在總功率受限的條件下，一部分功率用來發(fā)射人工噪聲，這個(gè)信號(hào)功率與噪聲功率的分配問題直接影n向到保密容量。假設(shè)用戶之間的功率是均勻分配的，且有用功率分配系數(shù)為φ，則第k個(gè)用戶的功率為pk=φP/K，第k個(gè)用戶噪聲分配的功率為pn=(1-φ)P/K，第k個(gè)用戶的信道容量為：

竊聽方的信道容量為：

設(shè)：

則：

對(duì)保密容量公式Csec=CAk-CAe進(jìn)行求導(dǎo)，并令其等于零得到φ的一元二次等式為：

其中a1= E-F+D，a2=A-B，q=E-F，b2=-B，h1=F+G，h2 =B+C，z1=Ah2，z2=dh1，通過以上公式可以討論判斷得到夠的取值使第后個(gè)用戶的保密容量最大。

2、基于人工噪聲的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)加密算法系統(tǒng)性能分析

由式(7)可得不加人工噪聲即φ=1時(shí)，第k個(gè)用戶的信道容量為：

那么不加人工噪聲時(shí)系統(tǒng)的和容量為：

同理可得加人工噪聲后系統(tǒng)的和容量為：

于是可得通過人工噪聲加密后系統(tǒng)損失的和容量為：

由式(15)系統(tǒng)損失的和容量與接收端波束賦形向量Wk以及消除多用戶干擾的預(yù)編碼tk，減少人工噪聲影響的預(yù)編碼p，有效功率分配系數(shù)妒密切相關(guān)，在上節(jié)的分析均給出了預(yù)編碼的設(shè)計(jì)原則，即讓有用信號(hào)在主信道發(fā)送即使|wk Hktk|2最大，讓人工噪聲在次信道上發(fā)送即|WHHkp|2最小，這樣人工噪聲對(duì)合法用戶影響最小，系統(tǒng)損失的和容量也最小。

四、基于人工噪聲的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)加密算法仿真與分析

1、保密容量

首先，本文的方法對(duì)系統(tǒng)存在零空間下的加密進(jìn)行了保密容量與和容量的仿真。假設(shè)發(fā)送方與接收方的天線數(shù)均為4，合法用戶數(shù)為3，合法用戶信道狀態(tài)已知且歸一化，總功率恒為500mW。系統(tǒng)中第k個(gè)用戶的保密容量與和容量的仿真如圖3和圖4所示。

圖2橫坐標(biāo)為用戶信道噪聲功率與竊聽方信道噪聲功率的比值，縱坐標(biāo)為保密容量。在未加人工噪聲之前，由于多用戶間的干擾對(duì)第三方的影響使其部分保密容量大于零；加人工噪聲后，保密容量整體提高，致使40≤σn2/σe2≤100部分保密容量均大于零，從而實(shí)現(xiàn)安全通信。圖3表示由于發(fā)射功率受限，所以加密后對(duì)和容量有一定的損失，且噪聲功率分配越多損失越大。

然后，保持其它仿真條件不變將合法用戶數(shù)增加到4個(gè)，此時(shí)系統(tǒng)不存在零空間，依照本文算法得到的第k個(gè)用戶保密容量與和容量的仿真如圖4和圖5所示。

圖4可以看出在系統(tǒng)不存在零空間的情況下，通過人工噪聲仍然可以提高系統(tǒng)的保密容量。但是，由于系統(tǒng)不存在零空間，其保密容量比有零空間下的系統(tǒng)保密容量有下降。并且，當(dāng)有用功率分配系數(shù)為0.8且70≤σn2/σe2≤100時(shí)，系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)安全通信。隨著合法用戶的信道條件變差，有用功率分配系數(shù)為0.6或0.4的保密容量逐步高于有用功率分配系數(shù)為0.8的保密容量。這表明在一定條件下，通過發(fā)射更多的人工噪聲來擾亂竊聽方，可以有效提高保密容量，從而實(shí)現(xiàn)安全通信。

圖5表明當(dāng)系統(tǒng)不存在零空間的情況下，人工噪聲對(duì)合法用戶有部分影響，所以通過人工噪聲進(jìn)行加密加劇了對(duì)和容量的損失，有用功率分配系數(shù)為0.8和0.4的和容量損失量為未加密前和容量的1/4和1/2。雖然和容量損失較大，但由于用戶數(shù)的增多，其加密后的和容量高于系統(tǒng)存在零空間下的和容量。綜上所述，本文算法的實(shí)質(zhì)是通過損失一定的和容量來提高保密容量。

2、功率分配

假設(shè)總功率恒為500 mW，系統(tǒng)中第庇用戶保密容量隨有用信號(hào)功率分配系數(shù)變化的仿真如圖6所示。當(dāng)σn2/σe2=20，仿真得到的已知條件為：

A= 0.0775,B=0.0067,C=80,D=9.786 xl0-4,E= 1.0048,F=0.0012,G=4

代入式(10)并解方程可以得出使保密容量最大（即安全傳輸下的最大傳輸速率）的功率分配系數(shù)為妒，同理當(dāng)σn2/σe2變動(dòng)時(shí)，只變動(dòng)e即可。

圖6表明在不存在零空間的多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)中，人工噪聲的發(fā)射功率過小尤其是小于總功率的0.1情況下，保密容量急速下降，條件更差的情況下就不能實(shí)現(xiàn)安全傳輸。隨著合法用戶信道條件變差，最佳分配系數(shù)也逐步左移，即在竊聽方信道明顯優(yōu)于合法用戶的時(shí)候，分配的人工噪聲功率也越來越多。

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