隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，大量的敏感圖像信息以不同的形式在網(wǎng)絡(luò)上傳輸，這同時也為不法分子利用網(wǎng)絡(luò)獲得未授權(quán)的信息提供了方便。密碼學(xué)是保障信息安全的核心技術(shù)，由于圖像具有信息量大、相鄰像素值相關(guān)性強(qiáng)等特點(diǎn)，傳統(tǒng)的文本加密算法DES、IDEA、RSA等不能完全滿足圖像加密需要，而混沌系統(tǒng)的遍歷性、混合性、確定性、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、對初值和參數(shù)的極端敏感性等很好地對應(yīng)于密碼學(xué)所要求的混淆、擴(kuò)散、確定的偽隨機(jī)、攻擊復(fù)雜、密鑰敏感性等相關(guān)特性，因此混沌理論的發(fā)展為圖像加密提供了新思路。

低維的混沌系統(tǒng)只有一個正的Lyapunov指數(shù)，可提供的密鑰空間相對較小，無法抵抗當(dāng)前的蠻力攻擊。而超混沌系統(tǒng)有2個正的Lyapunov指數(shù)，有更強(qiáng)的混沌性，因此，研究超混沌系統(tǒng)已成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)。為解決低維混沌系統(tǒng)因可提供的密鑰空間太小而無法抵抗蠻力攻擊的問題，本文通過引入一個新變量w。在三維Lorenz系統(tǒng)上增加一個微分方程，使其組成四維微分方程組，并引入一個非線性項(xiàng)來增加系統(tǒng)運(yùn)動的復(fù)雜性，由此構(gòu)造一個新的四維超混沌Lorenz系統(tǒng)，再基于該系統(tǒng)設(shè)計(jì)出一種保密性更強(qiáng)、適應(yīng)現(xiàn)代密碼體制要求的數(shù)字圖像加密算法。

一、四維超混沌Lorenz系統(tǒng)

本文在三維Lorenz系統(tǒng)剛的基礎(chǔ)上通過引入一個新變量w。增加一個微分方程，使其成為一個四維微分方程組：

式(1)即本文構(gòu)造的四維超混沌Lorenz系統(tǒng)，其中的非線性項(xiàng)用于增加系統(tǒng)運(yùn)動的復(fù)雜性，a、b、c、d為系統(tǒng)參數(shù)，且a、b、c的取值與經(jīng)典三維Lorenz系統(tǒng)中的β、σ、ρ取值一樣。

本文應(yīng)用了提出的計(jì)算微分方程組Lyaponov指數(shù)的方法，得到當(dāng)a=10，b=8/3，c=28，d=2時，式(1)的Lyapunov指數(shù)為λ1=2.043 8，λ2=1.973 5，λ3=-2.191 8，λ4=-35.492 7，有2個大于0的Lyapunov指數(shù)，此時式(1)產(chǎn)生了超混沌運(yùn)動，本文稱其為新的超混沌Lorenz系統(tǒng)。

圖1是四維超混沌Lorenz系統(tǒng)所對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)。

當(dāng)a=10、b=8/3、c=28、d=2時，該系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡如圖2～圖5所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，x、y、z、w各序列值均具有隨機(jī)性、遍歷性、確定性和對初值極其敏感等特點(diǎn)。

二、基于四堆超混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法

加密算法過程如圖6所示。

具體步驟如下：

Step1采用龍格庫塔法求解新四維超混沌Lorenz系統(tǒng)，生成xi，Yi，Zi、wi4個序列。

Step2用：

的方式取序列日個值以后的n(n=MxN)個值。在本文算法中，H=10000組成M序列。

Step3 m=mod(mxK,256)。為保證混沌序列的混沌性不退化，K取值一般大子10 000。對256取模是為了保證M值在灰度圖像的有效值范圍內(nèi)。

Step4 e=m+x?；煦缧蛄信c原始圖像進(jìn)行相加運(yùn)算。

Step5 當(dāng)e大于255時就一直減256，直到e小于256,從而保證加密后的各像素值在O~255之間。

在本文算法中，x表示待加密的MxN大小的原始圖像，e表示加密后圖像，聊表示新超混沌Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列，4個初始值(x0，y0，z0，wo)作為密鑰。

三、加密算法安全性分析與實(shí)驗(yàn)仿真

在一個加密算法中，安全性是首要的問題。下面將對本文加密算法的安全性進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)采用一個512x512像素的灰度圖像Lena作為加密圖像。

1、統(tǒng)計(jì)直方圈分析

根據(jù)Shannon理論，一個密碼系統(tǒng)在抗統(tǒng)計(jì)攻擊方面應(yīng)該具有很好的性能。圖7、圖8給出原始圖像和密文圖像的統(tǒng)計(jì)直方圖?？梢钥闯?，加密前圖像的直方圖分布不均勻，圖像的主要信息聚集在某一區(qū)域內(nèi)，而加密后的密文圖像統(tǒng)計(jì)直方圖是均勻分布的，統(tǒng)計(jì)特性良好，有著很好的擾亂性，可以有效抵抗已知明文攻擊或者選擇明文攻擊。

2、相鄰像素相關(guān)性分析

本文在原圖和密圖中分別隨機(jī)選取了1 000個像素對（可以選取所有的像素對），然后分別測試其水平方向、垂直方向和對角方向的像素相關(guān)性，并應(yīng)用式(2)計(jì)算出3個方向的相關(guān)系數(shù)。

其中，x，y分別表示圖像中2個相鄰像素的灰度值；Rxy即相鄰像素的相關(guān)系數(shù)。

表1為利用本文加密算法加密圖像前后相鄰像素的相關(guān)性對比，從中可以看出，原始圖像垂直方向、水平方向和對角線方向的相關(guān)系數(shù)均接近1，而加密后的密圖3個方向上的相關(guān)系數(shù)均在0附近，而且非常接近O，說明加密后破壞了相鄰像素的相關(guān)性。所以，加密算法具有良好的擴(kuò)散性，能抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊。

3、密鑰分析

一個好的加密算法應(yīng)該對密鑰非常敏感，而且密鑰空間應(yīng)該足夠大以抵抗窮舉攻擊。

（1）密鑰敏感性測試與分析

從密碼學(xué)的觀點(diǎn)來看，所設(shè)計(jì)的加密算法對密鑰應(yīng)該足夠敏感，必須保證能產(chǎn)生雪崩效應(yīng)。雪崩效應(yīng)是指即使密鑰發(fā)生微小的變化，對應(yīng)的加密密文數(shù)據(jù)也會發(fā)生劇烈變化。在理想的情況下，希望至少一半的密文發(fā)生了變化。

本文加密算法將4個初值xo、yo、z0、wo均設(shè)為子密鑰，合在一起作為算法的密鑰。xo、Yo、zo、w0均為實(shí)數(shù)且它們的最佳取值范圍是：xo∈[-10，10l，Yo∈[-20，20]，zo∈[1O，60]，wo∈[-50，50]。取初始密鑰為：

xo=0.284 954 698 754 12

Yo=11.012 345 678 911 23

zo=14.123 456 789 123 42

wo=5.123 456 789 123 42

為測試算法對密鑰的敏感性，稍微改變密鑰中任一子密鑰的值(改變10-14)，再進(jìn)行加密，比較前后加密2幅圖像對應(yīng)的不同像素個數(shù)。當(dāng)初始值為：

xo=0.284 954 698 754 12

yo=11.012 345 678 911 23

z0=14.123 456 789 123 42

wo=5.123 456 789 123 42

時,2幅加密后圖像的像素比p=99.60%，當(dāng)初始值為：

xo=0.284 954 698 754 12

Yo=II.OL2 345 678 911 24

z0=14.123 456 789 123 42

wo=5.123 456 789 123 42

時，p=99.68%，當(dāng)初始值為：

xo=0.284 954 698 754 12

yo=11.012 345 678 911 23

zo=14.123 456 789 123 43

wo=5.123 456 789 123 42

時，p=99.62%，當(dāng)初始值為：

xo=0.284 954 698 754 12

Yo=11.012 345 678 911 23

zo=14.123 456 789 123 42

wo=5.123 456 789 123 43

時，p=99.67%。

結(jié)果表明，即使加密密鑰相差10-14，得到的加密后圖像約有99.6%以上的像素不同。

圖9給出用與正確密鑰相差10-14的密鑰對加密后的Lena圖像進(jìn)行解密后的結(jié)果，可以看出完全無法正確解密，而且不透露原圖信息。因此，本文的加密算法對密鑰非常敏感。

（2）密鑰空間分析

本文采用4個均為實(shí)數(shù)的初始值作為密鑰，所以，理論上可提供無限大的密鑰空間。但實(shí)際上由于受計(jì)算機(jī)有效位數(shù)的限制，無法提供無限大的空間。設(shè)加密系統(tǒng)采用雙精雙浮點(diǎn)型，則各初始值均取得15位有效數(shù)。4個15位實(shí)數(shù)一起作為密鑰，則加密算法的密鑰空間為1015x14=1060 =2200。為了能抵抗蠻力攻擊，密鑰空間K應(yīng)該大于2100，所以，本文設(shè)計(jì)的加密算法足以抵抗當(dāng)前的蠻力攻擊。

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