近年來(lái)，互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)上傳送音頻、視頻和圖像等多媒體信息的需求也日益增多，與此同時(shí)，人們對(duì)互聯(lián)網(wǎng)信息傳送過(guò)程中的安全性和保密性要求也越來(lái)越高．加密方法是對(duì)信息進(jìn)行編碼和解碼的方法，對(duì)圖像信息的加密方法可以分為三大類：

1)把圖像當(dāng)作普通的二進(jìn)制文件來(lái)進(jìn)行加密，這種加密方法可以使用包括DES、AES等傳統(tǒng)的密碼學(xué)算法來(lái)進(jìn)行。但這種方法沒(méi)有考慮到圖像信息的特征，加密圖像信息的微小失真會(huì)導(dǎo)致解密失敗；

2)用圖像處理技術(shù)的加密方法。其中又包括時(shí)域加密和頻域加密2個(gè)子類：

①時(shí)域加密，典型方法是利用混沌系統(tǒng)來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行像素置亂以及灰度置亂；

②頻域加密，主要是采用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT)來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行加密，因?yàn)镕RFT的變換階數(shù)可以作為圖像加密的密鑰，但該方法的加密結(jié)果是復(fù)數(shù)；

3)利用光學(xué)信息處理技術(shù)進(jìn)行加密，指的是利用光學(xué)加密理論來(lái)進(jìn)行數(shù)字圖像加密處理。例如利用雙隨機(jī)相位的方法(Double Random Phase Encryption，DRPE)來(lái)加密圖像，但該方法的加密結(jié)果也為復(fù)數(shù)，不利于圖像的存儲(chǔ)及傳輸，因而該加密方法主要在光學(xué)圖像加密的計(jì)算機(jī)仿真時(shí)應(yīng)用。

有不少學(xué)者研究如何建立一種實(shí)值圖像加密方法，從而可以減少加密圖像的信息熵，現(xiàn)階段主要有三種實(shí)值加密方法：

1）將加密圖像的存儲(chǔ)空間擴(kuò)大，但是需要存儲(chǔ)及傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量也對(duì)應(yīng)增大，因此這種方法的效率不高；

2）利用希爾伯特變換，將圖像壓縮成二分之一的頻域圖像來(lái)進(jìn)行處理，最后再把圖像還原到實(shí)數(shù)域；

3）基于保持實(shí)值的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換來(lái)進(jìn)行圖像加密，上述三種方法的加密結(jié)果都是在一個(gè)很大區(qū)間內(nèi)分布的正數(shù)和負(fù)數(shù)的集合矩陣，不利于保存成數(shù)字圖像。

本文提出了一種能夠使雙隨機(jī)相位圖像文件加密方法的密文圖像保持為非負(fù)整數(shù)值的變換——重構(gòu)變換?；谥貥?gòu)變換的雙隨機(jī)相位圖像加密方法可以實(shí)現(xiàn)聯(lián)合圖像壓縮和加密的效果。本文首先介紹圖像重構(gòu)變換的實(shí)現(xiàn)方法，并對(duì)其算法復(fù)雜度進(jìn)行分析。之后，介紹重構(gòu)變換在雙隨機(jī)相位圖像文件加密方法中的應(yīng)用，也即是實(shí)現(xiàn)了一種基于變換域的數(shù)字圖像文件加密方法。最后，對(duì)保持非負(fù)整數(shù)值的雙隨機(jī)相位圖像加密方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文加密方法可以減少密文圖像的信息熵和數(shù)據(jù)量并保持密文圖像的安全性，且具有較大的密鑰空間，密文
圖像對(duì)于高斯噪音干擾和椒鹽噪音干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。

一、重構(gòu)變換

1、加密算法引入

重構(gòu)變換包括預(yù)處理和頻譜搬移兩個(gè)過(guò)程，對(duì)于一幅具有256級(jí)灰度的圖像，預(yù)處理的步驟可以記為以下兩步：

Step1：設(shè)原圖像h(x1，y1)的大小為M×N，將h(x1，y1)按上下對(duì)半的方式拆開(kāi)為：

Step2：將h(x1，y1)。。當(dāng)成圖像的實(shí)部，h(x1，y1)down當(dāng)成虛部，構(gòu)造一幅M/2×N的復(fù)數(shù)圖像，從而減少圖像的運(yùn)算空間。

式中k稱為縮放因子，當(dāng)k∈[3，4]時(shí)，解密的圖像能夠獲得較高的恢復(fù)質(zhì)量?？s放因子的作用是，減少密文圖像的值域區(qū)間。

在經(jīng)過(guò)預(yù)處理之后，復(fù)數(shù)圖像H(x2，y2)可以進(jìn)行傳統(tǒng)的加密運(yùn)算。為了使運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為256級(jí)灰度值，在復(fù)數(shù)域的加密運(yùn)算之后需要進(jìn)行頻譜搬移，其步驟如下：

Step1：假設(shè)經(jīng)過(guò)復(fù)數(shù)域處理之后的圖像是大小為M/2×N的G(x2，y2)，分別提取其實(shí)部和虛部，即：

Step2：將圖像拼接成為M×N的256級(jí)灰度圖像h2(x1，y1)。

式中，[]表示取整，d稱為搬移系數(shù)，當(dāng)縮放因子是不同時(shí)，它會(huì)對(duì)應(yīng)有不同的最優(yōu)值。

圖像重構(gòu)變換的特點(diǎn)體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1)通過(guò)疊加的方式將整數(shù)圖像壓縮成一半大小的復(fù)數(shù)圖像，從而能縮小后續(xù)運(yùn)算的計(jì)算空間；

2)縮放因子是的引入，使密文圖像的值控制在[-128 128]之間，最后通過(guò)矗參量將密文圖像值域移到[0 255]；

3)頻譜搬移過(guò)程中，取整這一步驟會(huì)使重建的圖像產(chǎn)生微小失真，但這些失真可以減少密文圖像所需要保存的數(shù)據(jù)量，在加密的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了壓縮的效果；

4)縮放因子和搬移系數(shù)對(duì)應(yīng)不同的圖像會(huì)有不同的聯(lián)合最優(yōu)值，在實(shí)驗(yàn)分析中我們將對(duì)其進(jìn)行探討。

2、加密算法復(fù)雜度分析

在重構(gòu)變換中，預(yù)處理需要進(jìn)行M/2×N次的加法運(yùn)算，頻譜搬移需要（M/2×N+M×N）次的加法運(yùn)算，因此重構(gòu)變換的運(yùn)算復(fù)雜度只有0(2M×N)，由上述分析可知本算法的運(yùn)算復(fù)雜度很低。

二、數(shù)字圖像的雙隨機(jī)相位加密方法

光學(xué)信息處理方法能夠?qū)崿F(xiàn)高速的并行處理、抗干擾能力強(qiáng)以及光速運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)．在光學(xué)圖像加密方法中，雙隨機(jī)相位加密應(yīng)用最為廣泛，然而，該加密方法在數(shù)字圖像加密中并不可行，因?yàn)樗鼜?fù)數(shù)的加密結(jié)果包含了太多冗余信息．如果給合本文所提出的重構(gòu)變換，那么光學(xué)加密理論中的雙隨機(jī)相位加密方法則能應(yīng)用于數(shù)字圖像文件加密。

光學(xué)圖像的雙隨機(jī)相位加密過(guò)程如圖1所示。

設(shè)原始圖像為H(x2，y2)，r(x2，y2)，R(x2，y2)是隨機(jī)相位掩膜，r(x2，y2)=exp (i2兀r0(x2，y2))，R(x2，y2)=exp(i2πRo(x2，y2))，r0(x2，y2)和R(x2，y2)都是取值范圍在(0，1)的隨機(jī)數(shù)。H(x2，y2)是加密之后的復(fù)數(shù)圖像。

將重構(gòu)變換應(yīng)用到雙隨機(jī)相位加密方案中，則光學(xué)加密系統(tǒng)的加密流程如圖2所示。其中加密步驟為：

Step1：對(duì)于一幅M×N灰度圖像H(x1，y1)，通過(guò)圖像重構(gòu)變換中的預(yù)處理變換成等×N的復(fù)數(shù)圖像H(X2，y2)。

Step2：用雙隨機(jī)相位方法將H(x2，y2)加密成G(X2，y2)，雙隨機(jī)相位加密后的圖像G(X2，y2)可以表示為：

Step3：將圖像G(X2，y2)通過(guò)頻譜搬移轉(zhuǎn)換成為M×N的H(x1，y1)，其中H(x1，y1)是在O至255之間的非負(fù)整數(shù)．因此，H(x1，y1)易于保存為數(shù)字圖像并且在網(wǎng)絡(luò)上傳輸非常方便。

解密步驟是加密步驟的逆過(guò)程，因?yàn)橹貥?gòu)變換只是一些線性變換，所以本文所提出的保持非負(fù)整數(shù)雙隨機(jī)相位圖像加密方案的光學(xué)實(shí)現(xiàn)在理論上也是可行的。

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證重構(gòu)變換算法的效率，我們?cè)贛ATLAB7.O環(huán)境下使用Lena圖像及hill圖像，對(duì)基于重構(gòu)變換的雙隨機(jī)相位圖像加密方法進(jìn)行分析，所使用圖像灰度級(jí)別為256，大小是256×256。

1、加密圖像的信息熵

為了衡量加密前后圖像包含的信息量是否有變化，這里引入信息熵來(lái)進(jìn)行度量．設(shè)圖像矩陣的大小為M×N，矩陣的信息熵可寫(xiě)為：

式中0和255分別為該灰度圖像像素的最大值和最小值，P(i)是數(shù)值為i的元素在矩陣中出現(xiàn)的概率?；谛畔㈧?，傳輸數(shù)據(jù)的總比特?cái)?shù)可以寫(xiě)為：

注意到式(7)對(duì)灰度圖像的信息熵求解是針對(duì)整型值來(lái)說(shuō)的，若圖像是復(fù)數(shù)圖像或非整型值圖像，則需要通過(guò)分段統(tǒng)計(jì)的辦法來(lái)計(jì)算信息熵，為了體現(xiàn)本文所提方案的特點(diǎn)，在表1中引入了其它典型的加密方案在密文圖像的信息熵方面的表現(xiàn)性能，以進(jìn)行比較。其中，雙隨機(jī)相位加密圖像方法中保持密文實(shí)值的代表，利于混沌系統(tǒng)來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行位置亂的加密方法，將圖像的置亂和擴(kuò)散操作聯(lián)合起來(lái)的混沌加密方法。

對(duì)于一幅具有256級(jí)灰度的整型值圖像來(lái)說(shuō)，其最大信息熵是log228=8。在表1中，這種0方法計(jì)算所得信息熵大于8，是因?yàn)槠涿芪膱D像是非整數(shù)圖像，信息熵計(jì)算采用2560個(gè)分段近似計(jì)算：統(tǒng)計(jì)像素值在每一段的出現(xiàn)頻率，再計(jì)算其信息熵。又因其密文圖像大小是原文的4倍，該方法需要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量非常大。

在表1中，后兩種的方法都是利用混沌系統(tǒng)來(lái)加密圖像的方法，這類方法能使密文圖像具有趨于8的信息熵，但其劣勢(shì)在于不易于圖像壓縮方法相結(jié)合。因?yàn)楹玫幕煦缂用芊椒ǘ紩?huì)具有較好的雪崩效應(yīng)（一個(gè)原始圖像像素位的改變會(huì)導(dǎo)致密文圖像大部分像素位的改變）。由此，如果再將這些加密方法的密文圖像進(jìn)行有損壓縮（比如變換編碼，小波編碼），則由壓縮之后的圖像無(wú)法恢復(fù)出原始圖像。

本文方法的加密圖像具有比原始圖像更小的信息熵，實(shí)現(xiàn)了圖像壓縮與加密的聯(lián)合。本文方法信息熵降低的原因是在進(jìn)行重構(gòu)變換的過(guò)程中，式(4)的取整運(yùn)算丟棄了小數(shù)部分的信息，從圖3(c)可以看到，本文方法的解密圖像與原文圖像的差別是人眼難以區(qū)分的。另外，從圖3(d)可以看出，本文加密方法所減少的信息熵對(duì)應(yīng)著解密圖像的小部分輪廓信息丟失。

2、縮放因子k及搬移系數(shù)d的最優(yōu)值

為了評(píng)估本方法恢復(fù)的圖像質(zhì)量，我們使用峰值信噪比(Peak Signal Noise Ratio，PSNR)，這一參量來(lái)進(jìn)行測(cè)量。PSNR的定義式為：

其中I（m，n）是原始圖像的灰度值，I'（m，n）是恢復(fù)圖像的灰度值，兩幅圖像的大小都為M×N，D'是圖像灰度級(jí)別的最大值。

為了測(cè)量縮放因子k對(duì)加密效果的影響，我們先將搬移系數(shù)d固定為常量，將忍設(shè)置為在[2.55.5]內(nèi)的自變量，對(duì)應(yīng)的PSNR值為因變量，加密效果如圖4所示。

在圖4當(dāng)中，Lena圖像對(duì)應(yīng)的最優(yōu)k值是3.2，hill圖像對(duì)應(yīng)的最優(yōu)忍值是3.7。當(dāng)是在[3 4]內(nèi)取值時(shí)，恢復(fù)圖像與原圖像的峰值信噪比都大于40 dB，這時(shí)恢復(fù)圖像與原圖像的差別是人眼難以分別的，因而使用重構(gòu)變換的方法來(lái)改良雙隨機(jī)相位加密具有實(shí)用性．如果將式(4)里面取整這一運(yùn)算步驟去除，從加密結(jié)果就能夠無(wú)失真地恢復(fù)原圖，但是加密的非整數(shù)圖像無(wú)法保存成位圖文件，在另一方面，當(dāng)縮放因子k越大，本文方案所加密圖像的信息熵越小，其對(duì)原始圖像的有損壓縮率也就越高。

同理，為了測(cè)量搬移系數(shù)矗對(duì)加密效果的影響，我們可以將k固定為最優(yōu)值區(qū)間內(nèi)的3.5，然后以d在[113 143]區(qū)間內(nèi)作為自變量，觀察其加密所對(duì)應(yīng)的PSNR值變化，變化效果如圖5所示。

在圖5中，當(dāng)d取128時(shí)，Lena圖像對(duì)應(yīng)有最大的PSNR值，當(dāng)d取134時(shí)，Hill圖像對(duì)應(yīng)有最大的PSNR值。從圖5可以看出，Hill圖像對(duì)搬移系數(shù)的變化較Lena圖像敏感，原因是，式(4)的取整運(yùn)算對(duì)于信息熵更小的圖像影響更大。

對(duì)于一幅特定圖像來(lái)說(shuō)，如何求解k和d的聯(lián)合最優(yōu)值是一個(gè)求解二維多峰函數(shù)的全局最優(yōu)值問(wèn)題，可以采用群智能優(yōu)化算法來(lái)進(jìn)行快速求解（比如人工蜂群算法）。然而，如果在加密圖像之前都采用優(yōu)化算法來(lái)求出其聯(lián)合最優(yōu)值，則不能保證加密方案的實(shí)時(shí)性。由于當(dāng)是在[3 4]內(nèi)取值，d在[125135]內(nèi)取值時(shí)，解密圖像都能取得40 dB以上的峰值信噪比，因此，我們可以確立一個(gè)“聯(lián)合最優(yōu)區(qū)間”的概念，當(dāng)忌和矗在聯(lián)合最優(yōu)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)(d∈[3，4]，d∈[125，135])，解密圖像的微小失真是人眼不可見(jiàn)的。這種在聯(lián)合最優(yōu)區(qū)間內(nèi)取值的方法可擬實(shí)現(xiàn)對(duì)不同圖像的快速、高效加密。

為了對(duì)本方法的安全性進(jìn)行驗(yàn)證，將縮放因子k和d移系數(shù)d在最優(yōu)區(qū)間內(nèi)分別取3.5和128，然后考察本文加密方法的密鑰空間，以及對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

（1）密鑰空間分析

圖像加密算法的密鑰空間一般要足夠大，從而能夠抵抗窮舉攻擊。對(duì)于本文提出的加密算法，其密鑰空間分析如下：隨機(jī)相位板的每一個(gè)密鑰位在MATLAB7.0上執(zhí)行時(shí)都是雙準(zhǔn)確度實(shí)數(shù)，假設(shè)輸入圖像的大小為M×N，則本文方法對(duì)應(yīng)的密鑰空間為2×1015XMXN，假設(shè)嘗試一次可能解所需的時(shí)間是1秒，則窮舉一幅256×256密文圖像所需要的時(shí)間特別長(zhǎng)，可見(jiàn)該密鑰空間是足夠大的。

（2）柱狀圖分析

加密前后的柱狀圖如圖6所示。從上圖可以看出，加密之后圖像的像素值近似于正態(tài)分布。本方法加密的任何圖像都是這種近似正態(tài)的分布，因此這種分布的安全性不比均勻分布的安全性低。

（3）鄰域像素相關(guān)性分析

分別從水平、垂直、對(duì)角三個(gè)方向來(lái)分析加密之后圖像的相關(guān)性。為了提高計(jì)算效率，我們隨機(jī)選取4000對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行分析，其中計(jì)算像素相關(guān)性的公式為：

式中x和y分別表示圖像中隨機(jī)選出的像素對(duì)的兩個(gè)灰度值，rxy為圖像的像素相關(guān)性。從表2可以看到，原始Lena圖像在3個(gè)方向的像素相關(guān)性都非常高，而加密之后的像素相關(guān)性都是負(fù)數(shù)，從而表明改進(jìn)的雙隨機(jī)相位圖像加密方案安全性高。圖7為圖像垂直方向的像素相關(guān)性。

4、抗干擾性能

用圖像處理的辦法來(lái)加密圖像的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)就是這種方法能抵抗一定的加性噪音干擾。對(duì)Lena圖像應(yīng)用本文方法進(jìn)行加密，再對(duì)密文圖像分別加上0. 001 dB的高斯噪音和0.001 dB的椒鹽噪音，如圖8(a)，(c)所示。對(duì)于被噪音污染之后的圖像，它們解密后的圖像分別如圖8(b)，(d)所示，解密的圖像基本都能分辨出人的輪廓和相貌特征。因此本文方法對(duì)高斯黲音及椒鹽噪音干擾具有一定的抵抗能力。

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